Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica abaixo, considerando que os denominadores são diferentes de zero:
Informações dadas:
- A expressão a simplificar é
. - Devemos lembrar que o denominador é diferente de zero, ou seja,
.
Passo 2
Entendendo a ideia: para simplificar uma fração algébrica a técnica padrão é fatorar numerador e denominador e, então, cancelar fatores comuns. Explicação do porquê:
- Se um fator
aparece multiplicando o numerador e também o denominador, então podemos dividir numerador e denominador por — isso é equivalente a multiplicar por — desde que . - Em símbolos: se temos
com , então .
Passo 3
Aplicando a fatoração no numerador: observar os termos de
. Ambos os termos têm um fator comum
. Ao fatorar esse fator comum obtemos:
Explicação passo a passo:
significa
, logo a fatoração está correta.
Passo 4
Reescrevendo a fração com a fatoração do numerador:
Passo 5
Cancelar o fator comum
: como aparece
no numerador e no denominador, e sabemos que
, podemos dividir numerador e denominador por
. Em termos algébricos:
válido para
. Aqui usei a propriedade
quando
.
Passo 6
Cheque numérico rápido para ganhar confiança:
- Se
: original . Simplificado: . Concorda. - Se
: original está indefinido (divisão por zero). A forma simplificada daria , mas isso NÃO vale para a expressão original porque a condição proíbe . Por isso é importante sempre manter a restrição de domínio.
Passo 7
Conclusão final: a fração simplifica para
, lembrando que a simplificação é válida somente quando
.