Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{x^{2}+2 x}{x}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica abaixo, considerando que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{x^{2}+2x}{x}
Informações dadas:
  • A expressão a simplificar é \frac{x^{2}+2x}{x}.
  • Devemos lembrar que o denominador é diferente de zero, ou seja, x\neq0.

Passo 2

Entendendo a ideia: para simplificar uma fração algébrica a técnica padrão é fatorar numerador e denominador e, então, cancelar fatores comuns. Explicação do porquê:
  • Se um fator a aparece multiplicando o numerador e também o denominador, então podemos dividir numerador e denominador por a — isso é equivalente a multiplicar por 1 — desde que a\neq0.
  • Em símbolos: se temos \dfrac{a\cdot b}{a\cdot c} com a\neq0, então \dfrac{a\cdot b}{a\cdot c}=\dfrac{a}{a}\cdot\dfrac{b}{c}=1\cdot\dfrac{b}{c}=\dfrac{b}{c}.

Passo 3

Aplicando a fatoração no numerador: observar os termos de x^{2}+2x. Ambos os termos têm um fator comum x. Ao fatorar esse fator comum obtemos:
x^{2}+2x = x(x+2).
Explicação passo a passo: x(x+2) significa x\cdot x + x\cdot 2 = x^{2}+2x, logo a fatoração está correta.

Passo 4

Reescrevendo a fração com a fatoração do numerador:
\frac{x^{2}+2x}{x}=\frac{x(x+2)}{x}.

Passo 5

Cancelar o fator comum x: como aparece x no numerador e no denominador, e sabemos que x\neq0, podemos dividir numerador e denominador por x. Em termos algébricos:
\frac{x(x+2)}{x}=\frac{x}{x}\,(x+2)=(1)(x+2)=x+2,
válido para x\neq0. Aqui usei a propriedade \dfrac{x}{x}=1 quando x\neq0.

Passo 6

Cheque numérico rápido para ganhar confiança:
  • Se x=3: original \dfrac{3^{2}+2\cdot3}{3}=\dfrac{9+6}{3}=\dfrac{15}{3}=5. Simplificado: 3+2=5. Concorda.
  • Se x=0: original está indefinido (divisão por zero). A forma simplificada x+2 daria 2, mas isso NÃO vale para a expressão original porque a condição x\neq0 proíbe x=0. Por isso é importante sempre manter a restrição de domínio.

Passo 7

Conclusão final: a fração simplifica para x+2, lembrando que a simplificação é válida somente quando x\neq0.

Resposta

x+2,\quad x\neq0

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