Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{6 a^{2} b}{3 a b^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{6 a^{2} b}{3 a b^{2}}
e informa que os denominadores são diferentes de zero. Portanto devemos assumir que a\neq0 e b\neq0. O objetivo é reescrever a expressão de forma mais simples, cancelando fatores comuns quando possível.

Passo 2

Estratégia: separar coeficientes numéricos e fatores com as mesmas bases, então usar regras de potências para cancelar. Regras importantes que vou usar (explicadas de forma direta):
  • Para números: dividir os coeficientes normalmente, por exemplo \dfrac{6}{3}=2.
  • Para potências da mesma base: \dfrac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}, desde que x\neq0. Isso significa que, ao dividir, subtraímos os expoentes.
  • Expoente negativo: x^{-1}=\dfrac{1}{x}. Então, se sobrar x^{-1}, converte-se para \dfrac{1}{x}.

Passo 3

Aplicando a separação em fatores iguais:
\frac{6 a^{2} b}{3 a b^{2}} = \frac{6}{3}\cdot\frac{a^{2}}{a}\cdot\frac{b}{b^{2}}.
Agora simplifico cada parte:
\frac{6}{3}=2,
\frac{a^{2}}{a}=a^{2-1}=a,
\frac{b}{b^{2}}=b^{1-2}=b^{-1}=\frac{1}{b}.

Passo 4

Multiplicando os resultados parciais:
2\cdot a\cdot\frac{1}{b}=\frac{2a}{b}.
Observação prática para a prova: dá para fazer tudo “de cabeça” cancelando fatores em cima/baixo — por exemplo, dividir 6 por 3 para obter 2, cancelar um a (sobra a no numerador) e cancelar um b (sobra b no denominador). Mas a regra por trás é a das potências que usei acima.

Resposta

\frac{2a}{b}

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