Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão algébrica abaixo, sabendo que os denominadores não podem ser zero:
Informações dadas:
- As frações têm denominadores
e . - Foi especificado que os denominadores são diferentes de zero, ou seja
.
O que se pede: somar e simplificar a expressão, escrevendo-a de forma reduzida.
Passo 2
Lembrete rápido (regra que vamos aplicar): para somar frações algébricas é necessário pô-las sobre um mesmo denominador comum e então somar os numeradores. Aqui os denominadores são
e
. O mínimo múltiplo comum é
. Então vamos reescrever cada fração com denominador
.
Transformar a primeira fração
para ter denominador
: multiplicar numerador e denominador por
:
A segunda fração já tem denominador
:
Passo 3
Agora que ambas têm o mesmo denominador
, somamos os numeradores:
Passo 4
Simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandir
:
Então somar com
:
Portanto a expressão ficou
Passo 5
Agora fatorar o polinômio do numerador
. Procuramos dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja
(coeficiente de
). Esses números são
e
. Assim:
Substituindo na fração:
Passo 6
Verificar se é possível cancelar algum fator entre numerador e denominador: o denominador é
e os fatores do numerador são
e
. Não há fator comum (dependente de
de forma polinomial idêntica) que possa ser cancelado para todo
. Portanto a forma fatorada
é a forma simplificada final. Lembrar da restrição inicial:
.
Passo 7
Confirmação numérica rápida (cheque): tomar
(permitido porque
).
Calcular a expressão original:
Calcular a expressão original:
Calcular a forma final:
Confere — resultado consistente.