Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{x+1}{x}+\frac{2 x+2}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão algébrica abaixo, sabendo que os denominadores não podem ser zero:
\frac{x+1}{x}+\frac{2x+2}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • As frações têm denominadores \,x e \,x^{2}.
  • Foi especificado que os denominadores são diferentes de zero, ou seja \,x\neq 0.
    O que se pede: somar e simplificar a expressão, escrevendo-a de forma reduzida.

Passo 2

Lembrete rápido (regra que vamos aplicar): para somar frações algébricas é necessário pô-las sobre um mesmo denominador comum e então somar os numeradores. Aqui os denominadores são \,x e \,x^{2}. O mínimo múltiplo comum é \,x^{2}. Então vamos reescrever cada fração com denominador \,x^{2}.
Transformar a primeira fração \dfrac{x+1}{x} para ter denominador \,x^{2}: multiplicar numerador e denominador por \,x:
\frac{x+1}{x}=\frac{(x+1)\cdot x}{x\cdot x}=\frac{(x+1)x}{x^{2}}.
A segunda fração já tem denominador \,x^{2}:
\frac{2x+2}{x^{2}}=\frac{2x+2}{x^{2}}.

Passo 3

Agora que ambas têm o mesmo denominador \,x^{2}, somamos os numeradores:
\frac{(x+1)x}{x^{2}}+\frac{2x+2}{x^{2}}=\frac{(x+1)x+(2x+2)}{x^{2}}.

Passo 4

Simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandir (x+1)x:
(x+1)x=x^{2}+x.
Então somar com 2x+2:
x^{2}+x+(2x+2)=x^{2}+(x+2x)+2=x^{2}+3x+2.
Portanto a expressão ficou
\frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}}.

Passo 5

Agora fatorar o polinômio do numerador x^{2}+3x+2. Procuramos dois números cujo produto seja 2 (termo constante) e cuja soma seja 3 (coeficiente de x). Esses números são 1 e 2. Assim:
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Substituindo na fração:
\frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}}=\frac{(x+1)(x+2)}{x^{2}}.

Passo 6

Verificar se é possível cancelar algum fator entre numerador e denominador: o denominador é x^{2}=x\cdot x e os fatores do numerador são (x+1) e (x+2). Não há fator comum (dependente de x de forma polinomial idêntica) que possa ser cancelado para todo x. Portanto a forma fatorada \dfrac{(x+1)(x+2)}{x^{2}} é a forma simplificada final. Lembrar da restrição inicial: \,x\neq 0.

Passo 7

Confirmação numérica rápida (cheque): tomar x=1 (permitido porque x\neq 0).
Calcular a expressão original:
\frac{1+1}{1}+\frac{2\cdot1+2}{1^{2}}= \frac{2}{1}+\frac{4}{1}=2+4=6.
Calcular a forma final:
\frac{(1+1)(1+2)}{1^{2}}=\frac{2\cdot 3}{1}=6.
Confere — resultado consistente.

Resposta

\dfrac{(x+1)(x+2)}{x^{2}}, \;x\neq 0

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