Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão algébrica dada e já avisa que os denominadores são diferentes de zero. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
- Expressão fornecida:
. - Informação importante: o denominador
, não pode ser zero, portanto . - Pedido: simplificar a expressão algébrica, ou seja, escrever de forma mais simples e reduzida, mantendo as mesmas restrições.
Passo 2
Conceito básico que vou usar (explicando devagar): quando duas frações algébricas têm o mesmo denominador, para somar ou subtrair basta operar os numeradores e manter o denominador comum. Em linguagem matemática a regra é:
onde
,
e
são expressões algébricas e
. Aqui
é o numerador da primeira fração,
o numerador da segunda e
o denominador comum.
No nosso caso temos:
-
, -
, -
(e já lembramos que ).
Passo 3
Aplicando a regra diretamente ao nosso problema: subtrai-se os numeradores e mantém-se o denominador comum. Escrevendo a operação:
Aqui cada passo é óbvio: pegou-se
(primeiro numerador) menos
(segundo numerador) no numerador da nova fração, e o denominador ficou
.
Passo 4
Verificação rápida (para ganhar confiança): escolha um valor permitido, por exemplo
(que satisfaz
). Calculando as duas formas:
E pela forma simplificada:
Os resultados coincidem, o que confirma que o procedimento está correto.
Passo 5
Checar possibilidade de simplificação adicional: o numerador
, e o denominador
, não têm fator comum que possa ser cancelado (são polinômios de primeiro grau com raízes diferentes), portanto não há mais simplificação algébrica possível além de já feita. Não esquecer a restrição de domínio:
.