A pergunta é: esses vetores geram \mathbb{R}^3? Ou seja, todo vetor arbitrário de \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear de v_1,v_2,v_3?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa "gerar \mathbb{R}^3" de forma simples e clara.
A coleção \{v_1,v_2,v_3\} gera \mathbb{R}^3 se, para todo vetor arbitrário (a,b,c)\in\mathbb{R}^3, existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=(a,b,c).
Um teste prático: se as três colunas formam uma matriz invertível (determinante diferente de zero), então as colunas são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3. Se o determinante for zero, há dependência linear e elas não podem gerar todo \mathbb{R}^3.
Vou usar esse teste porque é curto e direto; depois, se necessário, mostro explicitamente a dependência linear encontrada.
Da segunda equação vem \gamma=-\beta. Substituindo na primeira, \alpha+2\beta=0\Rightarrow \alpha=-2\beta.
Escolhendo \beta=1 obtemos a solução não-trivial \alpha=-2,\\ \beta=1,\\ \gamma=-1. Assim
-2v_1+1\cdot v_2-1\cdot v_3=0,
que pode ser reescrita como
v_2=2v_1+v_3.
Isso mostra que v_2 é combinação linear de v_1 e v_3; portanto os três vetores não trazem “direção extra” além das direções geradas por v_1 e v_3. O espaço gerado por eles é um plano (dimensão 2), não todo \mathbb{R}^3.]
Passo 7
Conclusão clara e prática: como existe dependência linear (por exemplo v_2=2v_1+v_3), os vetores não geram \mathbb{R}^3.
Resposta
Não. Os vetores não geram \mathbb{R}^3 (pois \det A=0 e, por exemplo, v_2=2v_1+v_3).