Exercício 14 Os vetores (1,0,1),(2,1,3) e(0,1,1) geram \mathbb{R}^{3} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=(1,0,1),\qquad v_2=(2,1,3),\qquad v_3=(0,1,1).
A pergunta é: esses vetores geram \mathbb{R}^3? Ou seja, todo vetor arbitrário de \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear de v_1,v_2,v_3?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa "gerar \mathbb{R}^3" de forma simples e clara.
  • A coleção \{v_1,v_2,v_3\} gera \mathbb{R}^3 se, para todo vetor arbitrário (a,b,c)\in\mathbb{R}^3, existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=(a,b,c).
  • Um teste prático: se as três colunas formam uma matriz invertível (determinante diferente de zero), então as colunas são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3. Se o determinante for zero, há dependência linear e elas não podem gerar todo \mathbb{R}^3.
Vou usar esse teste porque é curto e direto; depois, se necessário, mostro explicitamente a dependência linear encontrada.

Passo 3

Formo a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo o determinante de A. Usando a expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]3 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora avalio os determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]3 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot3=1-3=-2,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot1=0-1=-1.
Portanto
\det(A)=1\cdot(-2)-2\cdot(-1)=-2+2=0.]

Passo 5

Como \det(A)=0, a matriz não é invertível. Isso significa que as colunas não são linearmente independentes: existe uma combinação linear não-trivial
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0
com (\alpha,\beta,\gamma)\neq(0,0,0). Logo os vetores não formam base de \mathbb{R}^3 e, portanto, não geram todo \mathbb{R}^3.

Passo 6

Para ser bem didático, vamos encontrar explicitamente a dependência linear. Escrevendo as equações coordenada a coordenada:
\begin{cases} \alpha+2\beta+0\gamma=0,\\[4pt] 0\alpha+\beta+\gamma=0,\\[4pt] \alpha+3\beta+\gamma=0. \end{cases}
Da segunda equação vem \gamma=-\beta. Substituindo na primeira, \alpha+2\beta=0\Rightarrow \alpha=-2\beta.
Escolhendo \beta=1 obtemos a solução não-trivial \alpha=-2,\\ \beta=1,\\ \gamma=-1. Assim
-2v_1+1\cdot v_2-1\cdot v_3=0,
que pode ser reescrita como
v_2=2v_1+v_3.
Isso mostra que v_2 é combinação linear de v_1 e v_3; portanto os três vetores não trazem “direção extra” além das direções geradas por v_1 e v_3. O espaço gerado por eles é um plano (dimensão 2), não todo \mathbb{R}^3.]

Passo 7

Conclusão clara e prática: como existe dependência linear (por exemplo v_2=2v_1+v_3), os vetores não geram \mathbb{R}^3.

Resposta

Não. Os vetores não geram \mathbb{R}^3 (pois \det A=0 e, por exemplo, v_2=2v_1+v_3).

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