e pergunta quais desses vetores formam uma coleção linearmente independente, pedindo justificativa.
Passo 2
Vou lembrar claramente o que significa “linearmente independente” (vai ser a ideia que vou usar). Uma coleção de vetores \{v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\} é linearmente independente se a única solução do sistema
for \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{k}=0.
Aqui cada \alpha_{i} é um número real (um coeficiente escalar). Se existir alguma solução com algum coeficiente diferente de zero, dizemos que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso: consideremos coeficientes \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha(1,1,1)+\beta(1,1,0)+\gamma(1,0,0)=(0,0,0).
Aqui \alpha,\beta,\gamma são os coeficientes da combinação linear; se a única solução for \alpha=\beta=\gamma=0 então os três vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Passo a escrever as três equações que vêm das componentes (fazendo a soma componente a componente):
a primeira componente dá
\alpha+\beta+\gamma=0,
a segunda componente dá
\alpha+\beta=0,
a terceira componente dá
\alpha=0.
Passo 5
Agora resolvo esse pequeno sistema de forma simples e direta. Da terceira equação temos imediatamente
\alpha=0.
Substituindo \alpha=0 na segunda equação \alpha+\beta=0 obtém-se
0+\beta=0\quad\Rightarrow\quad \beta=0.
Finalmente, substituindo \alpha=0 e \beta=0 na primeira equação \alpha+\beta+\gamma=0 obtém-se
0+0+\gamma=0\quad\Rightarrow\quad \gamma=0.
Portanto a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0.
Passo 6
Conclusão pelo critério: como a única combinação linear que produz o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes zero), os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}.
Passo 7
Comentário rápido (opcional, para fixar a ideia): outra forma equivalente seria montar a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}
e calcular o determinante. Aqui \det(A)=-1\neq 0, o que também garante que as colunas (os três vetores) são linearmente independentes. Isso é só uma verificação alternativa.]