Exercício 16 Quais das seguintes coleções de vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} ? Justifique.
(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0);

Passo 1

O enunciado dá a coleção de três vetores em \mathbb{R}^{3}:
v_{1}=(1,1,1),\qquad v_{2}=(1,1,0),\qquad v_{3}=(1,0,0),
e pergunta quais desses vetores formam uma coleção linearmente independente, pedindo justificativa.

Passo 2

Vou lembrar claramente o que significa “linearmente independente” (vai ser a ideia que vou usar). Uma coleção de vetores \{v_{1},v_{2},\dots,v_{k}\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}= (0,0,\dots,0)
for \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{k}=0.
Aqui cada \alpha_{i} é um número real (um coeficiente escalar). Se existir alguma solução com algum coeficiente diferente de zero, dizemos que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: consideremos coeficientes \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha(1,1,1)+\beta(1,1,0)+\gamma(1,0,0)=(0,0,0).
Aqui \alpha,\beta,\gamma são os coeficientes da combinação linear; se a única solução for \alpha=\beta=\gamma=0 então os três vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Passo a escrever as três equações que vêm das componentes (fazendo a soma componente a componente):
a primeira componente dá
\alpha+\beta+\gamma=0,
a segunda componente dá
\alpha+\beta=0,
a terceira componente dá
\alpha=0.

Passo 5

Agora resolvo esse pequeno sistema de forma simples e direta. Da terceira equação temos imediatamente
\alpha=0.
Substituindo \alpha=0 na segunda equação \alpha+\beta=0 obtém-se
0+\beta=0\quad\Rightarrow\quad \beta=0.
Finalmente, substituindo \alpha=0 e \beta=0 na primeira equação \alpha+\beta+\gamma=0 obtém-se
0+0+\gamma=0\quad\Rightarrow\quad \gamma=0.
Portanto a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 6

Conclusão pelo critério: como a única combinação linear que produz o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes zero), os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}.

Passo 7

Comentário rápido (opcional, para fixar a ideia): outra forma equivalente seria montar a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e calcular o determinante. Aqui \det(A)=-1\neq 0, o que também garante que as colunas (os três vetores) são linearmente independentes. Isso é só uma verificação alternativa.]

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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