Exercício 4.15 De acordo com a Lei de Boyle para gases, mantendo-se a temperatura constante, o produto do volume pela pressão de um gás confinado permanece constante. Suponha que \mathrm{PV}=800 sendo V em polegadas cúbicas e P em libras por polegada quadrada. Expresse o volume em função da pressão e mostre que a taxa de variação do volume em relação a pressão é inversamente proporcional ao quadrado da pressão.

Passo 1

Segundo a Lei de Boyle, mantendo-se a temperatura constante, o produto da pressão P pela volume V é constante. Aqui temos \mathrm{PV}=800,
com P em libras por polegada quadrada e V em polegadas cúbicas. O objetivo é (a) expressar V em função de P e (b) mostrar que a taxa de variação \frac{dV}{dP} é inversamente proporcional ao quadrado de P.

Passo 2

Isolando V em \mathrm{PV}=800,
dividimos ambos os lados por P:
V(P)=\frac{800}{P}

Passo 3

A taxa de variação de V em relação a P é dada por \frac{dV}{dP}. Derivando V(P)=800P^{-1} temos
\frac{dV}{dP}=-800P^{-2} \;=\; -\frac{800}{P^2}
Isso mostra que \frac{dV}{dP} é proporcional a P^{-2}, ou seja, inversamente proporcional ao quadrado de P.

Resposta

V em função de P:
V(P)=\frac{800}{P}
Taxa de variação:
\frac{dV}{dP}=-\frac{800}{P^2},
logo \frac{dV}{dP} é inversamente proporcional a P^2.

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