Exercício 4.47 Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais (se houverem) das seguintes funções. Justifique.
f : [-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, dada por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left|\mathrm{x}^{2}-2\right|
Passo 1
O enunciado pede os pontos de máximo e mínimo globais de
O conteúdo envolve valor absoluto, continuidade em intervalo fechado (garantia de extremos) e análise de derivadas em cada ramo da função.
Passo 2
Primeiro escrevemos f de forma piecewise, distinguindo onde x^2-2 é não-negativo ou não-positivo:
Para \lvert x\rvert\le\sqrt2, temos x^2\le2 logo x^2-2\le0 e
f(x)=2 - x^2.
Para \lvert x\rvert\ge\sqrt2, temos x^2\ge2 logo x^2-2\ge0 e
f(x)=x^2 - 2.
Passo 3
Calculamos as derivadas em cada ramo e achamos pontos críticos:
No ramo \lvert x\rvert<\sqrt2:
f'(x) = \frac{d}{dx}(2 - x^2) = -2x,
que se anula em x=0, que pertence ao interior (-\sqrt2,\sqrt2).
No ramo \lvert x\rvert>\sqrt2:
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2) = 2x,
que se anula em x=0, mas 0\notin(\sqrt2,2]\cup[-2,-\sqrt2), logo não há críticos nesse ramo.
Passo 4
Agora avaliamos f nos pontos candidatos:
– ponto crítico x=0,
– pontos de quebra x=\pm\sqrt2,
– fronteiras x=\pm2.
Calculamos: