Exercício 4.15 - Um cilindro de aço (
,
) com 50 mm de diâmetro foi fixado entre os apoios rígidos
e
a uma temperatura de
. Determine a força
que deve ser aplicada no ponto
para que, a uma temperatura de
, a força de reação em
seja zero. [Resposta:
]
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores da figura e do enunciado):
- Um cilindro de aço tem módulo de Young
e coeficiente de dilatação térmica . - Diâmetro do cilindro:
. - A barra está apoiada rigidamente entre
e . A distância de até é e de até é (logo comprimento total ). - A barra foi fixada entre os apoios à temperatura inicial
e depois a temperatura passa a . Portanto . - Há uma força concentrada
aplicada no ponto (seta indicando empurrando o lado esquerdo em direção a ). - O enunciado pede: determinar a força
tal que, na nova temperatura , a reação no apoio seja zero.
Informações relevantes resumidas (valores numéricos que usarei):
,
,
,
(lado esquerdo),
(lado direito),
,
.
Passo 2
Entendendo o fenômeno físico e as fórmulas fundamentais (aula rápida e motivadora).
- Uma variação de temperatura causa uma deformação livre (se a barra estivesse solta) dada por
. Isso significa que um comprimento mudaria livremente em . - Se a barra está presa (ou parcialmente presa) e não pode realizar essa variação livre, surgem deformações elásticas e tensões para impedir o movimento. A relação que liga deformação elástica
à tensão é a Lei de Hooke:
- Para um trecho preso que sofre também dilatação térmica, a compatibilidade é: deformação elástica total + deformação térmica livre = deformação resultante (que aqui é zero porque os apoios são rígidos e mantêm o comprimento global). Em termos de deslocamentos:
- A deformação mecânica de um trecho sob força axial
(positiva em tração) é , logo o alongamento é . - Resumindo: vou aplicar equilíbrio estático para relacionar as forças internas e compatibilidade de deformações (mecânicas + térmicas) para achar
.
Passo 3
Cálculo da área da seção transversal (passo a passo numérico).
- Área
do círculo de diâmetro :
Passo 4
Definir incógnitas internas e escrever as equações de equilíbrio estático para os dois trechos (esquerdo
e direito
).
- Chamo de
a força axial interna (positiva em tração) que atua no trecho e de a força axial interna no trecho . Note que por causa da força concentrada em teremos em geral . - Fazendo equilíbrio de forças nos dois trechos (considerando sinais consistentemente) obtém-se, depois de organizar, a relação simples:
(Explicação curta: a força concentrada
aplicada em
é compensada pelas forças internas nos dois lados; a soma das componentes internas que puxam é igual a
.)
- Também das equações de equilíbrio já se obtém que a reação no apoio
é numérica igual a (isto pode ser visto isolando o trecho direito ou resolvendo as equações de apoio). Em particular:
Passo 5
Escrever a condição de compatibilidade (deformações) para a barra inteira.
- A deformação mecânica total (alongamento positivo para tração) é a soma das deformações dos dois trechos:
- A variação livre por dilatação térmica (para toda a barra de comprimento
) é
- Como as extremidades
e permanecem fixas, o somatório deve ser zero:
Esta é a equação de compatibilidade que junto com
fecha o sistema.
Passo 6
Usar a condição pedida: a reação em
deve ser zero.
- Pedido do enunciado:
. Como , temos
- Substituindo
na relação dá:
- Substituindo
e na equação de compatibilidade obtemos:
- Isolando
:
Essa fórmula tem sentido: a força
deve equilibrar (por assim dizer) a força térmica distribuída de forma que o lado direito fique livre de reação.
Passo 7
Substituir os valores numéricos e calcular
passo a passo.
- Valores:
, , , , , . - Primeiro calcule
:
- Agora calcule
:
- Finalmente:
- Em unidades práticas:
Passo 8
Comentário final curto e incentivo.
- Resultado coerente com a resposta dada no enunciado. Observe que o sinal resulta positivo: é necessária uma força
na direção mostrada de aproximadamente para anular a reação em quando a barra é resfriada em . Você foi bem até aqui — esse tipo de problema junta equilíbrio estático + compatibilidade térmica, e com o esquema certo fica mecânica pura.