Exercício 4.15 - Um cilindro de aço ( E_{\text {aço }}=200 \mathrm{GPa}ç, \alpha_{\text {aço }}=12.0 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C}ç ) com 50 mm de diâmetro foi fixado entre os apoios rígidos A e B a uma temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C}. Determine a força P que deve ser aplicada no ponto C para que, a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}, a força de reação em B seja zero. [Resposta: P=188.5 \mathrm{kN} ]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores da figura e do enunciado):
  • Um cilindro de aço tem módulo de Young E_{\text{aço}}=200{,}0\\ \mathrm{GPa}ç e coeficiente de dilatação térmica \alpha_{\text{aço}}=12{,}0\times10^{-6}/{}^{\circ}\mathrm{C}ç.
  • Diâmetro do cilindro: d=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • A barra está apoiada rigidamente entre A e B. A distância de A até C é 0{,}5\\ \mathrm{m} e de C até B é 0{,}5\\ \mathrm{m} (logo comprimento total L=1{,}0\\ \mathrm{m}).
  • A barra foi fixada entre os apoios à temperatura inicial T_i=50^{\circ}\mathrm{C} e depois a temperatura passa a T_f=30^{\circ}\mathrm{C}. Portanto \Delta T = T_f-T_i = -20^{\circ}\mathrm{C}.
  • Há uma força concentrada P aplicada no ponto C (seta indicando P empurrando o lado esquerdo em direção a C).
  • O enunciado pede: determinar a força P tal que, na nova temperatura 30^{\circ}\mathrm{C}, a reação no apoio B seja zero.
Informações relevantes resumidas (valores numéricos que usarei):
\;E=200{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}, \;\alpha=12{,}0\times10^{-6}/{}^{\circ}\mathrm{C}, \;d=0{,}05\\ \mathrm{m}, \;L_1=0{,}5\\ \mathrm{m} (lado esquerdo), \;L_2=0{,}5\\ \mathrm{m} (lado direito), \;L=1{,}0\\ \mathrm{m}, \;\Delta T=-20^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 2

Entendendo o fenômeno físico e as fórmulas fundamentais (aula rápida e motivadora).
  • Uma variação de temperatura causa uma deformação livre (se a barra estivesse solta) dada por \varepsilon_{\text{th}}=\alpha\,\Delta T. Isso significa que um comprimento L mudaria livremente em \Delta L_{\text{th}}=\alpha\Delta T\,L.
  • Se a barra está presa (ou parcialmente presa) e não pode realizar essa variação livre, surgem deformações elásticas e tensões para impedir o movimento. A relação que liga deformação elástica \varepsilon_{\text{el}} à tensão \sigma é a Lei de Hooke:
\sigma = E\,\varepsilon_{\text{el}}.
  • Para um trecho preso que sofre também dilatação térmica, a compatibilidade é: deformação elástica total + deformação térmica livre = deformação resultante (que aqui é zero porque os apoios são rígidos e mantêm o comprimento global). Em termos de deslocamentos:
\delta_{\text{mech}} + \delta_{\text{th}} = 0.
  • A deformação mecânica de um trecho sob força axial N (positiva em tração) é \varepsilon_{\text{mech}}=N/(AE), logo o alongamento é \delta_{\text{mech}}=N L/(AE).
  • Resumindo: vou aplicar equilíbrio estático para relacionar as forças internas e compatibilidade de deformações (mecânicas + térmicas) para achar P.

Passo 3

Cálculo da área da seção transversal (passo a passo numérico).
  • Área A do círculo de diâmetro d:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}05)^2}{4}=\pi\cdot0{,}000625=0{,}00196350\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Definir incógnitas internas e escrever as equações de equilíbrio estático para os dois trechos (esquerdo A\!-\!C e direito C\!-\!B).
  • Chamo de N_1 a força axial interna (positiva em tração) que atua no trecho A\!-\!C e de N_2 a força axial interna no trecho C\!-\!B. Note que por causa da força concentrada P em C teremos em geral N_1\neq N_2.
  • Fazendo equilíbrio de forças nos dois trechos (considerando sinais consistentemente) obtém-se, depois de organizar, a relação simples:
N_1 + N_2 = P.
(Explicação curta: a força concentrada P aplicada em C é compensada pelas forças internas nos dois lados; a soma das componentes internas que puxam é igual a P.)
  • Também das equações de equilíbrio já se obtém que a reação no apoio B é numérica igual a N_1 (isto pode ser visto isolando o trecho direito ou resolvendo as equações de apoio). Em particular:
R_B = N_1.

Passo 5

Escrever a condição de compatibilidade (deformações) para a barra inteira.
  • A deformação mecânica total (alongamento positivo para tração) é a soma das deformações dos dois trechos:
\delta_{\text{mech}}=\frac{N_1 L_1}{A E}+\frac{N_2 L_2}{A E}=\frac{N_1 L_1+N_2 L_2}{A E}.
  • A variação livre por dilatação térmica (para toda a barra de comprimento L) é
\delta_{\text{th}}=\alpha\,\Delta T\,L.
  • Como as extremidades A e B permanecem fixas, o somatório deve ser zero:
\frac{N_1 L_1+N_2 L_2}{A E}+\alpha\,\Delta T\,L=0.
Esta é a equação de compatibilidade que junto com N_1+N_2=P fecha o sistema.

Passo 6

Usar a condição pedida: a reação em B deve ser zero.
  • Pedido do enunciado: R_B=0. Como R_B=N_1, temos
N_1=0.
  • Substituindo N_1=0 na relação N_1+N_2=P dá:
N_2=P.
  • Substituindo N_1=0 e N_2=P na equação de compatibilidade obtemos:
\frac{0\cdot L_1 + P L_2}{A E}+\alpha\,\Delta T\,L=0.
  • Isolando P:
P = -\frac{A E \,\alpha\,\Delta T\,L}{L_2}.
Essa fórmula tem sentido: a força P deve equilibrar (por assim dizer) a força térmica distribuída de forma que o lado direito fique livre de reação.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular P passo a passo.
  • Valores: A=0{,}00196350\\ \mathrm{m}^2, E=200{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}, \alpha=12{,}0\times10^{-6}/{}^{\circ}\mathrm{C}, \Delta T=-20^{\circ}\mathrm{C}, L=1{,}0\\ \mathrm{m}, L_2=0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro calcule A E:
A E = 0{,}00196350\cdot 200{,}0\times10^{9}=3{,}92699\times10^{8}\\ \mathrm{N}.
  • Agora calcule A E\,\alpha\,\Delta T\,L:
A E\,\alpha\,\Delta T\,L = 3{,}92699\times10^{8}\cdot 12{,}0\times10^{-6}\cdot(-20)\cdot1 = -94{,}247{,}8\\ \mathrm{N}.
  • Finalmente:
P = -\frac{-94{,}247{,}8}{0{,}5}=188{,}495{,}6\\ \mathrm{N}\approx 188{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
  • Em unidades práticas:
P \approx 188{,}5\\ \mathrm{kN}.

Passo 8

Comentário final curto e incentivo.
  • Resultado coerente com a resposta dada no enunciado. Observe que o sinal resulta positivo: é necessária uma força P na direção mostrada de aproximadamente 188{,}5\\ \mathrm{kN} para anular a reação em B quando a barra é resfriada em 20^{\circ}\mathrm{C}. Você foi bem até aqui — esse tipo de problema junta equilíbrio estático + compatibilidade térmica, e com o esquema certo fica mecânica pura.

Resposta

P=188{,}5\\ \mathrm{kN}

Exercícios relacionados