Exercício 4.6 - Uma barra longa e retangular de cobre, submetida a uma carga de tração
, está suspensa por um pino que é suportado por dois montantes de aço. A barra de cobre possui comprimento de
, área de seção transversal de
e módulo de elasticidade
. Cada montante de aço possui altura de
, área de seção transversal de
e módulo de elasticidade
. [Resposta: (a)
; (b)
]
(a) Determine o deslocamento vertical
da extremidade inferior da barra de cobre devido a uma carga
.
(b) Qual é a carga máxima admissível
se o deslocamento
for limitado a
?
(a) Determine o deslocamento vertical
(b) Qual é a carga máxima admissível
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar o deslocamento vertical
da extremidade inferior da barra de cobre quando aplicada a carga . - (b) Encontrar a carga máxima admissível
se o deslocamento for limitado a .
Todas as informações dadas (valores extraídos do enunciado / figura):
- Barra de cobre:
- comprimento
, - área da seção transversal
, - módulo de elasticidade
.
- comprimento
- Cada montante de aço (há dois montantes idênticos):
- comprimento (altura)
, - área da seção transversal
, - módulo de elasticidade
.
- comprimento (altura)
- Carga para o item (a):
. - Limite para o item (b):
. - Geometria e simetria da figura: o pino é suportado por dois montantes de aço idênticos (configuração simétrica), ou seja, os dois montantes compartilham a carga aplicada ao pino de maneira igual.
Passo 2
Conceito físico fundamental (a fórmula que vamos usar): deformação axial elástica de uma barra uniforme submetida a uma força axial.
- Para uma barra reta submetida a uma força axial
(tração ou compressão), a elongação axial (deslocamento) na direção da força é dada por:
onde:
-
é a força axial (em N), -
é o comprimento da barra (em m), -
é a área da seção transversal (em m^2), -
é o módulo de elasticidade do material (em Pa ou N/m^2).
Explicação simples do porquê: a relação vem da lei de Hooke para deformação axial linear (
com
e
). Substituindo
e
obtém-se
.
Passo 3
Aplicação ao sistema: como o pino é suportado por dois montantes de aço idênticos e a situação é simétrica, a carga total
que puxa para baixo é suportada pelos dois montantes dividida igualmente. Assim:
- Força na barra de cobre (internamente) é
. - Força em cada montante de aço é
.
Movimento do conjunto (deslocamento da extremidade inferior da barra de cobre): o deslocamento total
do ponto inferior da barra é a soma da elongação da barra de cobre (parte inferior) mais a elongação vertical dos montantes de aço (que deslocam o pino para baixo). Portanto:
onde
Juntando:
Isto é uma fórmula linear em
que vai permitir calcular (a)
para um
conhecido e (b) resolver para
quando
é limitado.
Passo 4
Conversão de unidades (muito importante para evitar erro numérico). Todos os valores devem ficar no SI (metros, metros quadrados, pascal, newtons):
-
. -
. -
. -
. -
. - Lembrar que, se quiser a resposta em milímetros, basta converter metros para milímetros ao final (
).
Passo 5
Cálculo da elongação da barra de cobre
para
.
Primeiro o coeficiente:
Calcule o denominador:
Logo:
Agora a elongação:
Converter para milímetros:
Passo 6
Cálculo da elongação de cada montante de aço (efeito no deslocamento do pino)
para
.
O coeficiente para os montantes vale:
Calcule o denominador:
Logo:
Agora a elongação causada pela carga total:
Converter para milímetros:
Passo 7
Somando as contribuições para obter o deslocamento total
quando
:
Arredondando com a precisão apresentada na resposta do enunciado, obtemos
(diferenças de arredondamento pequenas são normais). Bom trabalho — o maior contributo para o deslocamento vem da barra de cobre porque ela é mais longa e mais flexível (menor
e maior
).
Passo 8
Resolver o item (b): encontrar
quando
.
Usar a fórmula geral encontrada:
Isolando
:
Já calculamos os coeficientes numericamente nos passos anteriores:
Soma dos coeficientes:
Aplicando
:
Converter para
:
arredondando conforme enunciado:
.