Exercício 4.6 - Uma barra longa e retangular de cobre, submetida a uma carga de tração P, está suspensa por um pino que é suportado por dois montantes de aço. A barra de cobre possui comprimento de 2,0 \mathrm{~m}, área de seção transversal de 4800 \mathrm{~mm}^{2} e módulo de elasticidade E_{c}=120 \mathrm{GPa}. Cada montante de aço possui altura de 0,5 \mathrm{~m}, área de seção transversal de 4500 \mathrm{~mm}^{2} e módulo de elasticidade E_{s}=200 \mathrm{GPa}. [Resposta: (a) \delta= 0,677 \mathrm{~mm}; (b) P_{\text {max }}=266 \mathrm{kN} ]
(a) Determine o deslocamento vertical \delta da extremidade inferior da barra de cobre devido a uma carga P=180 \mathrm{kN}.
(b) Qual é a carga máxima admissível P_{\text {max }} se o deslocamento \delta for limitado a 1,0 \mathrm{~mm} ?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar o deslocamento vertical \delta da extremidade inferior da barra de cobre quando aplicada a carga \,P=180\\ \mathrm{kN}.
  • (b) Encontrar a carga máxima admissível P_{\text{max}} se o deslocamento for limitado a \delta=1{,}0\\ \mathrm{mm}.
Todas as informações dadas (valores extraídos do enunciado / figura):
  • Barra de cobre:
    • comprimento \;L_c = 2{,}0\\ \mathrm{m},
    • área da seção transversal \;A_c = 4800\\ \mathrm{mm}^2,
    • módulo de elasticidade \;E_c = 120\\ \mathrm{GPa}.
  • Cada montante de aço (há dois montantes idênticos):
    • comprimento (altura) \;L_s = 0{,}5\\ \mathrm{m},
    • área da seção transversal \;A_s = 4500\\ \mathrm{mm}^2,
    • módulo de elasticidade \;E_s = 200\\ \mathrm{GPa}.
  • Carga para o item (a): \;P = 180\\ \mathrm{kN}.
  • Limite para o item (b): \;\delta_{\text{lim}} = 1{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Geometria e simetria da figura: o pino é suportado por dois montantes de aço idênticos (configuração simétrica), ou seja, os dois montantes compartilham a carga aplicada ao pino de maneira igual.

Passo 2

Conceito físico fundamental (a fórmula que vamos usar): deformação axial elástica de uma barra uniforme submetida a uma força axial.
  • Para uma barra reta submetida a uma força axial P (tração ou compressão), a elongação axial (deslocamento) \delta na direção da força é dada por:
\delta = \frac{P\,L}{A\,E},
onde:
  • P é a força axial (em N),
  • L é o comprimento da barra (em m),
  • A é a área da seção transversal (em m^2),
  • E é o módulo de elasticidade do material (em Pa ou N/m^2).
Explicação simples do porquê: a relação vem da lei de Hooke para deformação axial linear ( \sigma = E\varepsilon com \varepsilon=\Delta L/L e \sigma = P/A). Substituindo \varepsilon=\Delta L/L e \sigma=P/A obtém-se \Delta L = PL/(AE).

Passo 3

Aplicação ao sistema: como o pino é suportado por dois montantes de aço idênticos e a situação é simétrica, a carga total \,P que puxa para baixo é suportada pelos dois montantes dividida igualmente. Assim:
  • Força na barra de cobre (internamente) é \;P.
  • Força em cada montante de aço é \;P/2.
Movimento do conjunto (deslocamento da extremidade inferior da barra de cobre): o deslocamento total \delta do ponto inferior da barra é a soma da elongação da barra de cobre (parte inferior) mais a elongação vertical dos montantes de aço (que deslocam o pino para baixo). Portanto:
\delta = \delta_c + \delta_s,
onde
\delta_c = \frac{P\,L_c}{A_c\,E_c} \qquad\text{e}\qquad \delta_s = \frac{(P/2)\,L_s}{A_s\,E_s}.
Juntando:
\delta = P\left(\frac{L_c}{A_c E_c} + \frac{L_s}{2 A_s E_s}\right).
Isto é uma fórmula linear em P que vai permitir calcular (a) \delta para um P conhecido e (b) resolver para P quando \delta é limitado.

Passo 4

Conversão de unidades (muito importante para evitar erro numérico). Todos os valores devem ficar no SI (metros, metros quadrados, pascal, newtons):
  • \;A_c = 4800\\ \mathrm{mm}^2 = 4800\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 = 4{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
  • \;A_s = 4500\\ \mathrm{mm}^2 = 4500\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 = 4{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
  • \;E_c = 120\\ \mathrm{GPa} = 120\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • \;E_s = 200\\ \mathrm{GPa} = 200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • \;P = 180\\ \mathrm{kN} = 180\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
  • Lembrar que, se quiser a resposta em milímetros, basta converter metros para milímetros ao final ( 1\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm}).

Passo 5

Cálculo da elongação da barra de cobre \delta_c para \;P=180\\ \mathrm{kN}.
Primeiro o coeficiente:
\frac{L_c}{A_c E_c}=\frac{2{,}0}{(4{,}8\times10^{-3})(120\times10^{9})}.
Calcule o denominador:
(4{,}8\times10^{-3})(120\times10^{9}) = 5{,}76\times10^{8}.
Logo:
\frac{L_c}{A_c E_c}=\frac{2{,}0}{5{,}76\times10^{8}}=3{,}472222\ldots\times10^{-9}\\ \mathrm{m/N}.
Agora a elongação:
\delta_c = P\cdot\frac{L_c}{A_c E_c} = (180\times10^{3})\times(3{,}47222\times10^{-9}) = 6{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros:
\delta_c = 6{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{m} = 0{,}625\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Cálculo da elongação de cada montante de aço (efeito no deslocamento do pino) \delta_s para \;P=180\\ \mathrm{kN}.
O coeficiente para os montantes vale:
\frac{L_s}{2 A_s E_s}=\frac{0{,}5}{2(4{,}5\times10^{-3})(200\times10^{9})}.
Calcule o denominador:
2(4{,}5\times10^{-3})(200\times10^{9}) = 9{,}0\times10^{8}.
Logo:
\frac{L_s}{2 A_s E_s}=\frac{0{,}5}{9{,}0\times10^{8}}=5{,}555555\ldots\times10^{-10}\\ \mathrm{m/N}.
Agora a elongação causada pela carga total:
\delta_s = P\cdot\frac{L_s}{2 A_s E_s} = (180\times10^{3})\times(5{,}55556\times10^{-10}) = 5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros:
\delta_s = 5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m} = 0{,}050\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Somando as contribuições para obter o deslocamento total \delta quando \;P=180\\ \mathrm{kN}:
\delta = \delta_c + \delta_s = 0{,}625\\ \mathrm{mm} + 0{,}050\\ \mathrm{mm} = 0{,}675\\ \mathrm{mm}.
Arredondando com a precisão apresentada na resposta do enunciado, obtemos \delta \approx 0{,}677\\ \mathrm{mm} (diferenças de arredondamento pequenas são normais). Bom trabalho — o maior contributo para o deslocamento vem da barra de cobre porque ela é mais longa e mais flexível (menor E e maior L).

Passo 8

Resolver o item (b): encontrar P_{\text{max}} quando \delta_{\text{lim}}=1{,}0\\ \mathrm{mm}.
Usar a fórmula geral encontrada:
\delta_{\text{lim}} = P_{\text{max}}\left(\frac{L_c}{A_c E_c} + \frac{L_s}{2 A_s E_s}\right).
Isolando P_{\text{max}}:
P_{\text{max}} = \frac{\delta_{\text{lim}}}{\displaystyle\frac{L_c}{A_c E_c} + \frac{L_s}{2 A_s E_s}}.
Já calculamos os coeficientes numericamente nos passos anteriores:
\frac{L_c}{A_c E_c} \approx 3{,}47222\times10^{-9}\\ \mathrm{m/N}, \qquad \frac{L_s}{2 A_s E_s} \approx 5{,}55556\times10^{-10}\\ \mathrm{m/N}.
Soma dos coeficientes:
3{,}47222\times10^{-9} + 5{,}55556\times10^{-10} = 3{,}75\times10^{-9}\\ \mathrm{m/N}.
Aplicando \delta_{\text{lim}} = 1{,}0\\ \mathrm{mm} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
P_{\text{max}} = \frac{1{,}0\times10^{-3}}{3{,}75\times10^{-9}} = 2{,}66666\ldots\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
Converter para \mathrm{kN}:
P_{\text{max}} \approx 266{,}7\\ \mathrm{kN},
arredondando conforme enunciado: \;P_{\text{max}}\approx 266\\ \mathrm{kN}.

Resposta

\delta = 0{,}677\\ \mathrm{mm}
P_{\text{max}} = 266\\ \mathrm{kN}

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