Exercício 4.16 - A uma temperatura de
, existe uma folga de
entre as extremidades livres de dois cilindros posicionados entre apoios rígidos. O cilindro
é de alumínio, possui
75 GPa e
. O cilindro
é de aço inoxidável, possui
e
. Quando a temperatura aumenta para
, determine: (a) a tensão normal no cilindro
de alumínio; (b) a variação final do comprimento do cilindro
. [Resposta: (a)
(compressão); (b)
]
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) a tensão normal no cilindro
de alumínio quando a temperatura aumenta de para ; - (b) a variação final do comprimento do cilindro
.
Dados fornecidos (peguei estes números da imagem/enunciado):
- Folga entre as extremidades livres:
. - Para o cilindro
(alumínio): , , , . - Para o cilindro
(aço inox): , , , . - Temperaturas: temperatura inicial
, final . Portanto a variação de temperatura é .
Passo 2
Entendendo o comportamento físico (sem fórmulas ainda, só ideia):
- Cada cilindro, se livre, aumentaria seu comprimento devido à dilatação térmica. As dilatações livres somadas podem ser maiores que a folga
. - Se a soma das dilatações livres exceder
, os cilindros entram em contato e comprimem um ao outro e contra os apoios rígidos. Surge uma força axial interna que produz encurtamento elástico em cada barra. - O equilíbrio de compatibilidade é: soma das dilatações térmicas livres menos as deformações elásticas (encurtamentos) = folga
(pois a folga foi consumida). Daí podemos achar . - A tensão em
é . A variação final do comprimento de é dilatação térmica livre de menos seu encurtamento elástico.
Passo 3
Calcular as dilatações térmicas livres de cada cilindro usando a fórmula da dilatação linear:
onde
é coeficiente de dilatação,
comprimento inicial e
variação de temperatura.
Para
:
Para
:
Soma das dilatações livres:
Comparação com a folga
: como
, a folga será consumida e aparecerão tensões de compressão nas barras.
Passo 4
Escrever a condição de compatibilidade (equação que relaciona dilatações térmicas, encurtamentos elásticos e folga). Seja
a força axial (mesma magnitude em ambas as barras, sentido de compressão). As deformações elásticas (encurtamentos) são dadas por Hooke:
Compatibilidade total:
Isolando os termos elásticos:
Passo 5
Substituir
por suas expressões em função de
e resolver para
. Assim:
Fatorando
:
Logo
Agora vamos calcular numericamente. Atenção às unidades: usar
em
(ou
), áreas em
, comprimentos em
, então
sai em N.
- Converter
: . . - Já calculamos
e , então .
Calcular os termos:
Soma:
Portanto
Passo 6
Determinar a tensão no cilindro
. A tensão axial (compressiva) é
Arredondando de forma prática:
Passo 7
Calcular a variação final do comprimento do cilindro
. Como explicado, o comprimento final relativo à posição inicial é a dilatação térmica livre menos o encurtamento elástico:
Já temos
. Calcular
:
Como
,
Então
Passo 8
Resumo dos resultados numéricos obtidos e interpretação curta (empática):
- A tensão em
é compressiva com magnitude aproximadamente . Isso significa que, ao aquecer, o alumínio pressionou contra o aço e os apoios, ficando comprimido. - O comprimento do alumínio aumentou, mas menos que sua dilatação livre porque parte foi anulada pelo encurtamento elástico; o aumento final é cerca de
. Boa notícia: deu pra fechar a folga e ainda gerar tensão considerável — por isso é importante projetar com folgas e juntas térmicas.