Exercício 13. Calcule a área do triângulo com vértices A=(1,1,1), B=(2,-1,3) e C=(3,0,1).
Passo 1
O enunciado dá os vértices do triângulo e pede a sua área. Informações dadas:
A=(1,1,1),\qquad B=(2,-1,3),\qquad C=(3,0,1).
Pergunta: qual é a área do triângulo cujos vértices são A, B e C?
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicação didática): se você pegar dois lados do triângulo como vetores em \mathbb{R}^3, o produto vetorial (cross product) desses dois vetores tem magnitude igual à área do paralelogramo formado por eles. Como o triângulo é metade desse paralelogramo, a área do triângulo é metade da magnitude do produto vetorial.
Formalmente, se tomarmos dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} que representam dois lados que saem do mesmo vértice, então
\text{área do triângulo}=\frac{1}{2}\,\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|.
Aqui \|\cdot\| é a norma (módulo) do vetor, ou seja, a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes. O produto vetorial de \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é o vetor
Explicando em palavras: cada componente do produto vetorial vem de uma combinação das componentes dos vetores originais, e depois somamos os quadrados dessas componentes e tiramos raiz para obter o comprimento do vetor resultante.
Passo 3
Escolhemos os vetores que representam dois lados que saem de A: \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Calculamos subtraindo coordenadas:
Agora calculamos o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Usando a fórmula por componentes, com \overrightarrow{AB}=(1,-2,2) e \overrightarrow{AC}=(2,-1,0):
Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo,
\text{área do triângulo}=\frac{1}{2}\,\sqrt{29}.áâ
Passo 6
Observação final e dica para a prova: ao ver um triângulo em \mathbb{R}^3, sempre é seguro formar dois vetores a partir de um mesmo vértice, calcular o produto vetorial e usar metade da sua norma. Isso evita ter de projetar ou usar trigonometria espacial desnecessária — é direto e confiável.