Exercício 13. Calcule a área do triângulo com vértices A=(1,1,1), B=(2,-1,3) e C=(3,0,1).

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo e pede a sua área. Informações dadas:
A=(1,1,1),\qquad B=(2,-1,3),\qquad C=(3,0,1).
Pergunta: qual é a área do triângulo cujos vértices são A, B e C?

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática): se você pegar dois lados do triângulo como vetores em \mathbb{R}^3, o produto vetorial (cross product) desses dois vetores tem magnitude igual à área do paralelogramo formado por eles. Como o triângulo é metade desse paralelogramo, a área do triângulo é metade da magnitude do produto vetorial.
Formalmente, se tomarmos dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} que representam dois lados que saem do mesmo vértice, então
\text{área do triângulo}=\frac{1}{2}\,\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|.áâ
Aqui \|\cdot\| é a norma (módulo) do vetor, ou seja, a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes. O produto vetorial de
\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é o vetor
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big),
cuja magnitude é
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\sqrt{(u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2+(u_1v_2-u_2v_1)^2}.
Explicando em palavras: cada componente do produto vetorial vem de uma combinação das componentes dos vetores originais, e depois somamos os quadrados dessas componentes e tiramos raiz para obter o comprimento do vetor resultante.

Passo 3

Escolhemos os vetores que representam dois lados que saem de A: \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Calculamos subtraindo coordenadas:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\,-1-1,\,3-1)= (1,\,-2,\,2).
\overrightarrow{AC}=C-A=(3-1,\,0-1,\,1-1)= (2,\,-1,\,0).

Passo 4

Agora calculamos o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Usando a fórmula por componentes, com \overrightarrow{AB}=(1,-2,2) e \overrightarrow{AC}=(2,-1,0):
Primeira componente:
u_2v_3-u_3v_2 = (-2)\cdot 0 - 2\cdot(-1) = 0 + 2 = 2.
Segunda componente:
u_3v_1-u_1v_3 = 2\cdot 2 - 1\cdot 0 = 4 - 0 = 4.
Terceira componente:
u_1v_2-u_2v_1 = 1\cdot(-1) - (-2)\cdot 2 = -1 + 4 = 3.
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (2,\,4,\,3).

Passo 5

Calculamos a magnitude desse vetor:
\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{2^2+4^2+3^2} = \sqrt{4+16+9} = \sqrt{29}.
Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo,
\text{área do triângulo}=\frac{1}{2}\,\sqrt{29}.áâ

Passo 6

Observação final e dica para a prova: ao ver um triângulo em \mathbb{R}^3, sempre é seguro formar dois vetores a partir de um mesmo vértice, calcular o produto vetorial e usar metade da sua norma. Isso evita ter de projetar ou usar trigonometria espacial desnecessária — é direto e confiável.

Resposta

\dfrac{1}{2}\sqrt{29}

Exercícios relacionados