Exercício 15. Dizer que uma sequência \left(u_{n}\right)_{n} admite um limite real \ell significa
matematicamente :
\forall \varepsilon>0, \exists \mathrm{~N}_{0} \in \mathbb{N}, \forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}, \mathrm{n}>\mathrm{N}_{0} \Rightarrow\left|\mathrm{u}_{\mathrm{n}}-\ell\right|<\varepsilon

Passo 1

O enunciado pede para escrever em linguagem formal de quantificadores o fato de que a sequência \bigl(u_{n}\bigr)_{n\in\mathbb{N}} converge para um limite real \ell. O conteúdo é a definição de limite de sequência em termos de \varepsilon N.

Passo 2

A forma quantificada dessa definição é:
\forall \varepsilon > 0,\;\exists N_{0}\in\mathbb{N}\;\text{tal que}\;\forall n\in\mathbb{N},\;n > N_{0}\;\Longrightarrow\; \bigl|u_{n}-\ell\bigr| < \varepsilon.

Resposta

\forall \varepsilon>0,\;\exists N_{0}\in\mathbb{N},\;\forall n\in\mathbb{N},\;n>N_{0}\;\Rightarrow\;\lvert u_{n}-\ell\rvert<\varepsilon.

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