Exercício 1.15 Identifique e esboce as superfícies:
(h) z=\cos x.

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por
z = \cos x.
Aqui o conteúdo é reconhecimento de superfícies definidas por z = f(x,y) e, em particular, superfícies “cilíndricas”, em que z depende apenas de uma variável.

Passo 2

Vamos examinar as traças na direção y=\text{constante}.
Para todo y=y_0 fixo, a equação restringe-se a
z = \cos x,
que é uma curva senoidal no plano xz. Essa curva oscila entre z=1 (em x=2k\pi) e z=-1 (em x=(2k+1)\pi).

Passo 3

Agora olhemos as traças na direção x=\text{constante}.
Para x=x_0 fixo, tem-se
z = \cos x_0 =\text{constante},
ou seja, uma reta paralela ao eixo y localizada na altura z=\cos x_0.

Passo 4

Como a forma em xz (a senóide z=\cos x) não muda quando variamos y, a superfície é obtida “extrudando” essa curva ao longo do eixo y. Logo trata-se de uma superfície cilíndrica com geratrizes paralelas ao eixo y e diretiz da curva z=\cos x.

Passo 5

Para esboçar: desenhe no plano xz a onda z=\cos x e depois imagine estender essa onda indefinidamente para trás e para frente no eixo y. O resultado é como um “túnel” ondulado, perfil senoidal em xz e constante em y.

Resposta

A superfície é uma superfície cilíndrica gerada pela curva senoidal z=\cos x no plano xz, estendida paralelamente ao eixo y.

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