Exercício 1.15 Identifique e esboce as superfícies:
(i) y^{2}+4 z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por
y^{2}+4z^{2}=1.
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas e reconhecimento de cilindros, pois a variável x não aparece na equação.

Passo 2

Note que x não aparece em
y^{2}+4z^{2}=1,
logo a superfície é um cilindro que se estende indefinidamente paralelo ao eixo x. As seções transversais por planos x=\text{constante} são todas iguais e dadas pela curva
y^{2}+4z^{2}=1.

Passo 3

Para ver o tipo dessa curva no plano yz, escrevemos em forma padrão de elipse:
\frac{y^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}}=1.
Isto mostra que é uma elipse com semi-eixo em y de comprimento 1 e semi-eixo em z de comprimento \tfrac12.

Passo 4

Para esboçar, em um sistema de coordenadas xyz:
  1. Desenhe no plano yz (isto é, para x=0) uma elipse centrada na origem com raízes em (y,z)=(\pm1,0) e topos em (0,\pm\tfrac12).
  2. Depois, “extruda” essa elipse ao longo do eixo x, formando um cilindro elíptico infinito nas duas direções de x.

Resposta

A superfície é um cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo x, cuja seção transversal no plano yz é a elipse
\frac{y^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}}=1.

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