Exercício 15 Se f(x)=\left(3 x^{2}+\sin (\pi x)\right)^{100}. Encontre f^{\prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\bigl(3x^{2}+\sin(\pi x)\bigr)^{100}
e pede f'(1). O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas de potências compostas.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, se g(x)=3x^{2}+\sin(\pi x) então f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{100} e
f'(x)=100\bigl(g(x)\bigr)^{99}\cdot g'(x).
Agora calculamos g'(x).

Passo 3

Derivando g(x)=3x^{2}+\sin(\pi x), temos
g'(x)=6x+\frac{d}{dx}\bigl(\sin(\pi x)\bigr) =6x+\pi\cos(\pi x).

Passo 4

Para x=1, primeiro o valor de g(1) é
g(1)=3\cdot1^{2}+\sin(\pi\cdot1)=3+0=3.
E
g'(1)=6\cdot1+\pi\cos(\pi)=6+\pi(-1)=6-\pi.
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f'(1)=100\bigl(g(1)\bigr)^{99}\cdot g'(1) =100\cdot 3^{99}\cdot(6-\pi).

Resposta

f'(1)=100\cdot 3^{99}\,\bigl(6-\pi\bigr).

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