Exercício 15. Mostre que
\cos (3 \theta)=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica de triplo ângulo para o cosseno:
\cos(3\theta)=4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta).
Vamos usar as fórmulas de soma de ângulos e as fórmulas de ângulo duplo.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de soma de cossenos para 3\theta = 2\theta + \theta:
\cos(3\theta) =\cos(2\theta+\theta) =\cos(2\theta)\cos(\theta)\;-\;\sin(2\theta)\sin(\theta).

Passo 3

Substituímos as fórmulas de ângulo duplo:
\cos(2\theta)=2\cos^2(\theta)-1, \qquad \sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta).
Logo,
\cos(3\theta) =(2\cos^2(\theta)-1)\cos(\theta)\;-\;(2\sin(\theta)\cos(\theta))\sin(\theta).

Passo 4

Expandimos e usamos \sin^2(\theta)=1-\cos^2(\theta):
\cos(3\theta) =2\cos^3(\theta)-\cos(\theta) -2\sin^2(\theta)\cos(\theta) =2\cos^3(\theta)-\cos(\theta) -2\bigl(1-\cos^2(\theta)\bigr)\cos(\theta).

Passo 5

Distribuindo e agrupando termos semelhantes:
\cos(3\theta) =2\cos^3(\theta)-\cos(\theta) -2\cos(\theta)+2\cos^3(\theta) =4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta).

Resposta

\cos(3\theta)=4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta).

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