Exercício 16. Mostre que
\tan ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de meia-ângulo para a tangente ao quadrado, que faz parte das identidades trigonométricas. Vamos usar as fórmulas do cosseno de ângulo duplo para expressar \sin^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) e \cos^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) e, em seguida, formar a razão que dá \tan^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 2

Usando
\cos x = 1 - 2\sin^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)
vemos que
\sin^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) = \frac{1 - \cos x}{2}.
E como também
\cos x = 2\cos^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) - 1,
segue
\cos^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) = \frac{1 + \cos x}{2}.

Passo 3

Por definição
\tan^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) = \frac{\sin^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\cos^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} = \frac{\tfrac{1 - \cos x}{2}}{\tfrac{1 + \cos x}{2}} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}.

Resposta

\tan^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}.

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