Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi :
\cos x \leq 1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica \cos x \leq \tfrac{1}{2} no intervalo [0,2\pi].
Informações dadas:
\cos x \leq \tfrac{1}{2},\qquad 0 \leq x \leq 2\pi.
Pergunta clara: determinar todos os x em [0,2\pi] que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Primeira ideia: achar os pontos em que a igualdade ocorre, ou seja resolver \cos x = \tfrac{1}{2}. Esses pontos vão dividir o intervalo em segmentos onde a desigualdade pode valer ou não. Vou explicar como achar essas soluções: conhecemos o valor de referência
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}.
A função cosseno tem simetria na circunferência unitária: se \cos a=\cos b então b=\pm a + 2k\pi. Assim as soluções gerais de \cos x=\tfrac{1}{2} são
x = \pm \tfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Agora pegamos as soluções que pertencem ao intervalo [0,2\pi]. Usando a expressão geral:
  • Para +\tfrac{\pi}{3}+2k\pi com k=0 obtemos x=\tfrac{\pi}{3} (que está em [0,2\pi]).
  • Para -\tfrac{\pi}{3}+2k\pi com k=1 obtemos x=2\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{5\pi}{3} (também em [0,2\pi]).
    Portanto os pontos de fronteira no intervalo são
x=\tfrac{\pi}{3}\quad\text{e}\quad x=\tfrac{5\pi}{3}.

Passo 4

Agora precisamos decidir, entre esses pontos, onde \cos x é menor ou igual a \tfrac{1}{2}. Uma forma intuitiva (unidade circular) é lembrar que \cos x é a coordenada x do ponto na circunferência; valores \leq \tfrac{1}{2} correspondem às direções cuja coordenada horizontal é menor ou igual a \tfrac{1}{2}. Em termos de ângulo, isso é o arco que vai de \tfrac{\pi}{3} até \tfrac{5\pi}{3} passando por \pi.
Outra forma, usando teste de sinais: pegue um ponto interior, por exemplo x=\pi. Temos
\cos\pi = -1 \leq \tfrac{1}{2},
logo entre \tfrac{\pi}{3} e \tfrac{5\pi}{3} a desigualdade vale. Pegue um ponto fora, por exemplo x=0:
\cos 0 = 1 > \tfrac{1}{2},
então fora do arco (do lado de 0 até \tfrac{\pi}{3} e de \tfrac{5\pi}{3} até 2\pi) a desigualdade não vale. Como a inequação é com “ \leq”, incluímos os pontos onde a igualdade ocorre.

Passo 5

Conclusão lógica: todos os x em [0,2\pi] que satisfazem \cos x \leq \tfrac{1}{2} são exatamente os que pertencem ao intervalo fechado de fronteiras \tfrac{\pi}{3} e \tfrac{5\pi}{3}. Visualize: do ângulo de 60^\circ até 300^\circ o cosseno é menor ou igual a 1/2. Força aí — essa é uma propriedade padrão que cai muito em prova!

Resposta

x\in\left[\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{5\pi}{3}\right]

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