Exercício 15. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo
:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica
no intervalo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta clara: determinar todos os
em
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Primeira ideia: achar os pontos em que a igualdade ocorre, ou seja resolver
. Esses pontos vão dividir o intervalo em segmentos onde a desigualdade pode valer ou não. Vou explicar como achar essas soluções: conhecemos o valor de referência
A função cosseno tem simetria na circunferência unitária: se
então
. Assim as soluções gerais de
são
Passo 3
Agora pegamos as soluções que pertencem ao intervalo
. Usando a expressão geral:
- Para
com obtemos (que está em ). - Para
com obtemos (também em ).
Portanto os pontos de fronteira no intervalo são
Passo 4
Agora precisamos decidir, entre esses pontos, onde
é menor ou igual a
. Uma forma intuitiva (unidade circular) é lembrar que
é a coordenada
do ponto na circunferência; valores
correspondem às direções cuja coordenada horizontal é menor ou igual a
. Em termos de ângulo, isso é o arco que vai de
até
passando por
.
Outra forma, usando teste de sinais: pegue um ponto interior, por exemplo
. Temos
logo entre
e
a desigualdade vale. Pegue um ponto fora, por exemplo
:
então fora do arco (do lado de
até
e de
até
) a desigualdade não vale. Como a inequação é com “
”, incluímos os pontos onde a igualdade ocorre.
Passo 5
Conclusão lógica: todos os
em
que satisfazem
são exatamente os que pertencem ao intervalo fechado de fronteiras
e
. Visualize: do ângulo de
até
o cosseno é menor ou igual a
. Força aí — essa é uma propriedade padrão que cai muito em prova!