Exercício 9. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
\operatorname{cotg}^{2} x+1=\operatorname{cosec}^{2} x.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
\operatorname{cotg}^{2} x + 1 = \operatorname{cosec}^{2} x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão a ser provada é \operatorname{cotg}^{2} x + 1 = \operatorname{cosec}^{2} x.
  • Não há outras condições explícitas no enunciado, mas devemos lembrar que as funções \operatorname{cotg} x e \operatorname{cosec} x só estão definidas quando \sin x \neq 0.

Passo 2

Vamos lembrar as definições básicas (isso é essencial para a prova). Definimos:
\operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x}, \qquad \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}.
Explicando de leve: \operatorname{cotg} x é o coseno dividido pelo seno; \operatorname{cosec} x é o inverso do seno. Aqui \sin x e \cos x são as funções seno e cosseno do ângulo x. Essas definições valem desde que \sin x \neq 0 (senão teríamos divisão por zero).

Passo 3

Também precisamos da identidade pitagórica fundamental:
\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1.
Essa identidade vem geométricamente do círculo unitário ou algebricamente das propriedades do seno e cosseno; o ponto importante é que ela é verdadeira para todo x.

Passo 4

Agora manipulemos o membro esquerdo \operatorname{cotg}^{2}x + 1 usando as definições. Primeiro escrevemos \operatorname{cotg}^{2}x em termos de seno e cosseno:
\operatorname{cotg}^{2}x = \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}.

Passo 5

Substituindo em \operatorname{cotg}^{2}x + 1 obtemos:
\operatorname{cotg}^{2}x + 1 = \frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x} + 1.
Para somar essa fração com 1, escrevemos 1 com denominador \sin^{2}x:
1 = \frac{\sin^{2}x}{\sin^{2}x}.

Passo 6

Agora somamos as frações:
\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x} + \frac{\sin^{2}x}{\sin^{2}x} = \frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\sin^{2}x}.

Passo 7

Usamos a identidade pitagórica \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1 no numerador:
\frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\sin^{2}x} = \frac{1}{\sin^{2}x}.

Passo 8

Mas \frac{1}{\sin^{2}x} é exatamente \operatorname{cosec}^{2}x, pois \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}. Portanto chegamos à igualdade desejada:
\operatorname{cotg}^{2}x + 1 = \operatorname{cosec}^{2}x.

Passo 9

Observação sobre domínio (importantíssimo na prova): a demonstração usou divisões por \sin x, logo a identidade é válida para todos os x tais que \sin x \neq 0. Para x onde \sin x = 0 as funções \operatorname{cotg} x e \operatorname{cosec} x não estão definidas, então não faz sentido falar da identidade nesses pontos.

Resposta

\operatorname{cotg}^{2}x + 1 = \operatorname{cosec}^{2}x

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