Exercício 9. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão a ser provada é
. - Não há outras condições explícitas no enunciado, mas devemos lembrar que as funções
e só estão definidas quando .
Passo 2
Vamos lembrar as definições básicas (isso é essencial para a prova). Definimos:
Explicando de leve:
é o coseno dividido pelo seno;
é o inverso do seno. Aqui
e
são as funções seno e cosseno do ângulo
. Essas definições valem desde que
(senão teríamos divisão por zero).
Passo 3
Também precisamos da identidade pitagórica fundamental:
Essa identidade vem geométricamente do círculo unitário ou algebricamente das propriedades do seno e cosseno; o ponto importante é que ela é verdadeira para todo
.
Passo 4
Agora manipulemos o membro esquerdo
usando as definições. Primeiro escrevemos
em termos de seno e cosseno:
Passo 5
Substituindo em
obtemos:
Para somar essa fração com
, escrevemos
com denominador
:
Passo 6
Agora somamos as frações:
Passo 7
Usamos a identidade pitagórica
no numerador:
Passo 8
Mas
é exatamente
, pois
. Portanto chegamos à igualdade desejada:
Passo 9
Observação sobre domínio (importantíssimo na prova): a demonstração usou divisões por
, logo a identidade é válida para todos os
tais que
. Para
onde
as funções
e
não estão definidas, então não faz sentido falar da identidade nesses pontos.