Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
\frac{x^{4}-a^{4}}{x-a}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão a seguir (considerando todos os denominadores diferentes de zero):
\frac{x^{4}-a^{4}}{x-a}
Informações dadas:
  • A expressão a ser simplificada é \dfrac{x^{4}-a^{4}}{x-a}.
  • Foi informado que todos os denominadores são diferentes de zero, portanto x\neq a.
    Nada mais é pedido além da simplificação algébrica.

Passo 2

Primeira ideia útil: reconhecer que \,x^{4}-a^{4}\, é uma diferença de potências que pode ser escrita como diferença de quadrados. A identidade básica de diferença de quadrados é
u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v),
onde u e v são expressões quaisquer. Aqui podemos aplicar com u=x^{2} e v=a^{2}. Assim:
x^{4}-a^{4}=(x^{2})^{2}-(a^{2})^{2}=(x^{2}-a^{2})(x^{2}+a^{2}).

Passo 3

Agora fatoramos ainda mais x^{2}-a^{2}, que também é uma diferença de quadrados. Usando a mesma identidade com u=x e v=a:
x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a).
Substituindo na fatoração do numerador obtemos:
x^{4}-a^{4}=(x-a)(x+a)(x^{2}+a^{2}).
Portanto a expressão original vira
\frac{x^{4}-a^{4}}{x-a}=\frac{(x-a)(x+a)(x^{2}+a^{2})}{x-a}.
Como foi dado que x\neq a, o fator x-a é diferente de zero e pode ser cancelado:
\frac{(x-a)(x+a)(x^{2}+a^{2})}{x-a}=(x+a)(x^{2}+a^{2}).

Passo 4

Podemos deixar o resultado em forma fatorada (x+a)(x^{2}+a^{2}) — que já é uma forma simplificada — ou expandi‑lo se preferir um polinômio explícito. Vamos expandir passo a passo:
(x+a)(x^{2}+a^{2})=x\cdot(x^{2}+a^{2})+a\cdot(x^{2}+a^{2}).
Calculando os dois termos:
x\cdot(x^{2}+a^{2})=x^{3}+a^{2}x, \qquad a\cdot(x^{2}+a^{2})=a x^{2}+a^{3}.
Somando:
(x+a)(x^{2}+a^{2})=x^{3}+a x^{2}+a^{2}x+a^{3}.

Passo 5

Observação geral (fórmula útil para provas): para qualquer inteiro n\ge1 vale a fatoração
x^{n}-a^{n}=(x-a)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+a^{n-1}\bigr),
que, no caso n=4, dá exatamente o quociente x^{3}+a x^{2}+a^{2}x+a^{3}. Isso é uma alternativa ao raciocínio por diferença de quadrados.

Passo 6

Checagem numérica rápida (confirmação): tome x=2 e a=1. Então
\frac{2^{4}-1^{4}}{2-1}=\frac{16-1}{1}=15
e
x^{3}+a x^{2}+a^{2}x+a^{3}=8+4+2+1=15,
concordando com a simplificação. Força aí — fica tranquilo, essa fatoração é padrão e aparece bastante em provas.

Resposta

(x+a)(x^{2}+a^{2}) \,(x\neq a)

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