Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão a seguir (considerando todos os denominadores diferentes de zero):
Informações dadas:
- A expressão a ser simplificada é
. - Foi informado que todos os denominadores são diferentes de zero, portanto
.
Nada mais é pedido além da simplificação algébrica.
Passo 2
Primeira ideia útil: reconhecer que
é uma diferença de potências que pode ser escrita como diferença de quadrados. A identidade básica de diferença de quadrados é
onde
e
são expressões quaisquer. Aqui podemos aplicar com
e
. Assim:
Passo 3
Agora fatoramos ainda mais
, que também é uma diferença de quadrados. Usando a mesma identidade com
e
:
Substituindo na fatoração do numerador obtemos:
Portanto a expressão original vira
Como foi dado que
, o fator
é diferente de zero e pode ser cancelado:
Passo 4
Podemos deixar o resultado em forma fatorada
— que já é uma forma simplificada — ou expandi‑lo se preferir um polinômio explícito. Vamos expandir passo a passo:
Calculando os dois termos:
Somando:
Passo 5
Observação geral (fórmula útil para provas): para qualquer inteiro
vale a fatoração
que, no caso
, dá exatamente o quociente
. Isso é uma alternativa ao raciocínio por diferença de quadrados.
Passo 6
Checagem numérica rápida (confirmação): tome
e
. Então
e
concordando com a simplificação. Força aí — fica tranquilo, essa fatoração é padrão e aparece bastante em provas.