Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão algébrica
\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+1}
e diz para considerar que os denominadores são diferentes de zero. Logo temos a informação importante:
  • x\neq 1 e x\neq -1 (pois x-1 e x+1 não podem ser zero).

Passo 2

Como a operação é subtração de frações, a ideia é escrever as duas frações com o mesmo denominador (o chamado denominador comum) e então subtrair os numeradores. Regra prática:
  • Para somar/subtrair frações, transformar cada fração para ter o mesmo denominador e depois somar/subtrair os numeradores mantendo o denominador comum.
No nosso caso os denominadores são x-1 e x+1. O mínimo múltiplo comum (MMC) desses dois polinômios é o produto (x-1)(x+1), que também pode ser escrito como x^{2}-1. Portanto vamos usar (x-1)(x+1) como denominador comum.

Passo 3

Escreve cada fração com o denominador comum, multiplicando numerador e denominador pelo fator que falta:
\frac{2}{x-1}=\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} \qquad\text{e}\qquad \frac{3}{x+1}=\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}.

Passo 4

Agora subtraímos os numeradores sobre o mesmo denominador:
\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+1} = \frac{2(x+1)-3(x-1)}{(x-1)(x+1)}.

Passo 5

Expandindo e simplificando o numerador passo a passo:
2(x+1)=2x+2, \qquad 3(x-1)=3x-3.
Então
2(x+1)-3(x-1)=(2x+2)-(3x-3)=2x+2-3x+3=-x+5.
Logo a expressão fica
\frac{-x+5}{(x-1)(x+1)}.

Passo 6

Podemos reescrever o numerador por ordem mais bonita trocando o sinal:
\frac{-x+5}{(x-1)(x+1)}=\frac{5-x}{x^{2}-1}.
Não há fator comum entre 5-x e x^{2}-1=(x-1)(x+1), portanto não é possível cancelar mais nada.
Também lembrar da restrição do domínio: x\neq 1 e x\neq -1.

Resposta

\displaystyle \frac{5-x}{x^{2}-1}

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