Exercício 16. Calcule a derivada das seguintes funções.
y=\ln \left(x^{4}+5 x\right)} Resposta: f^{\prime}(x)=\frac{4 x^{3}+5}{x^{4}+5 x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y = \ln\bigl(x^{4} + 5x\bigr). O conteúdo principal é a derivada do logaritmo natural, que envolve a regra da cadeia, e a derivada de um polinômio.

Passo 2

Se y = \ln(u(x)), a regra da cadeia diz que
y' = \frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui temos u(x) = x^{4} + 5x.

Passo 3

Primeiro, calculemos
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{4} + 5x\bigr) = 4x^{3} + 5.
Substituindo na fórmula da regra da cadeia, obtemos
y' = \frac{4x^{3} + 5}{x^{4} + 5x}.

Resposta

f'(x) = \frac{4x^{3} + 5}{x^{4} + 5x}.

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