Exercício 16. Calcule a derivada das seguintes funções.
y=40-\frac{8 x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{4} Resposta: f^{\prime}(x)=8 x^{2}-\frac{x}{2}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = 40 - \frac{8\,x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4}.
Vamos usar as regras: derivada de constante é zero e, pela regra do poder, \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Derivada do termo constante 40:
\frac{d}{dx}(40)=0.

Passo 3

Derivada de \displaystyle -\frac{8\,x^{3}}{3}: aplicando \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x^3\bigr)=3x^2 e fator constante -\tfrac{8}{3}, vem
\frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{8}{3}x^3\Bigr) =-\tfrac{8}{3}\cdot 3x^2 =-8x^2.

Passo 4

Derivada de \displaystyle -\frac{x^{2}}{4}: aplicando \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x^2\bigr)=2x e fator -\tfrac14, vem
\frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{1}{4}x^2\Bigr) =-\tfrac{1}{4}\cdot 2x =-\frac{x}{2}.

Passo 5

Somando todas as parcelas, a derivada é
y' = 0 \;+\;(-8x^2)\;+\;\Bigl(-\tfrac{x}{2}\Bigr) =-8x^2 - \frac{x}{2}.

Resposta

f'(x) = -8x^2 - \frac{x}{2}.

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