Exercício 15. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
f(x)=4-x^{2},
no ponto (1,3).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=4 - x^{2} no ponto (1,3). Para encontrar essa reta, precisamos calcular a derivada de f, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto, e depois usar a fórmula ponto-inclinação.

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x). Como f(x)=4 - x^{2}, pela regra de potência temos
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(4\bigr) - \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) = 0 - 2x = -2x.

Passo 3

A inclinação da reta tangente no ponto x=1 é
m = f'(1) = -2\cdot1 = -2.

Passo 4

Usamos a fórmula ponto-inclinação para a reta tangente:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=(1,3) e m=-2. Substituindo,
y - 3 = -2\,(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y - 3 = -2x + 2 \quad\Longrightarrow\quad y = -2x + 5.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -2x + 5.

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