Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A variável
tende para .
O que se pede: determinar se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.
Passo 2
Observação importante (dados extraídos dos polinômios): ambos numerador e denominador são polinômios de grau
. Os termos de grau mais alto (termos dominantes) são:
- no numerador:
(coeficiente líder ); - no denominador:
(coeficiente líder ).
Esses termos vão controlar o comportamento da fração quandofica muito grande.
Passo 3
Estratégia padrão (explicação didática): quando se tem uma razão de polinômios e
, uma técnica simples e segura é dividir numerador e denominador pelo maior potência de
que aparece (aqui
). Isso transforma cada termo em algo com fatores
que tendem a zero quando
. Vamos fazer isso passo a passo.
Por que isso é legítimo? Para
pode-se dividir numerador e denominador por
sem alterar o valor da fração; ao passar ao limite, usamos propriedades de limites (se as frações internas têm limites bem definidos, a razão também tem). Também usamos o fato básico:
porque o denominador cresce sem limite.
Passo 4
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Simplificando cada razão de potências,
Passo 5
Agora analisamos o limite de cada termo quando
:
e análogamente no denominador todos os termos com potências negativas em
tendem a
. Pelo teorema das operações com limites (soma, diferença e quociente quando o denominador tem limite não nulo), podemos passar ao limite da fração substituindo esses termos por
.
Passo 6
Tomando limite de ambos numerador e denominador obtemos
Passo 7
Conclusão e interpretação: o limite existe e vale
. Intuitivamente, isso acontece porque, para
muito grande, os termos de maior grau (
e
) dominam os polinômios; os termos de grau menor tornam-se insignificantes em comparação, então a razão aproxima-se da razão entre os coeficientes líderes.
Passo 8
Observação prática (para a prova): regra rápida para limites de razão de polinômios quando
:
- se
, o limite é a razão dos coeficientes líderes; - se
, o limite é ; - se
, o limite é (sinal determinado pelos coeficientes líderes e pelo lado do infinito).
Exemplo rápido:porque o grau do numerador é menor; porque o grau do numerador é maior.