Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{3}-3 x^{2}+x-4}{2 x^{3}+6 x^{2}-7 x+5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{3}-3x^{2}+x-4}{2x^{3}+6x^{2}-7x+5}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio \;5x^{3}-3x^{2}+x-4\;.
  • O denominador é o polinômio \;2x^{3}+6x^{2}-7x+5\;.
  • A variável x tende para +\infty.
    O que se pede: determinar se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.

Passo 2

Observação importante (dados extraídos dos polinômios): ambos numerador e denominador são polinômios de grau 3. Os termos de grau mais alto (termos dominantes) são:
  • no numerador: 5x^{3} (coeficiente líder 5);
  • no denominador: 2x^{3} (coeficiente líder 2).
    Esses termos vão controlar o comportamento da fração quando x fica muito grande.

Passo 3

Estratégia padrão (explicação didática): quando se tem uma razão de polinômios e x\to\pm\infty, uma técnica simples e segura é dividir numerador e denominador pelo maior potência de x que aparece (aqui x^{3}). Isso transforma cada termo em algo com fatores x^{-k} que tendem a zero quando x\to+\infty. Vamos fazer isso passo a passo.
Por que isso é legítimo? Para x\neq0 pode-se dividir numerador e denominador por x^{3} sem alterar o valor da fração; ao passar ao limite, usamos propriedades de limites (se as frações internas têm limites bem definidos, a razão também tem). Também usamos o fato básico:
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{k}}=0\quad\text{para todo }k>0,
porque o denominador cresce sem limite.

Passo 4

Dividindo numerador e denominador por x^{3} obtemos
\frac{5x^{3}-3x^{2}+x-4}{2x^{3}+6x^{2}-7x+5} = \frac{\dfrac{5x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{3x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{x}{x^{3}}-\dfrac{4}{x^{3}}} {\dfrac{2x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{6x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{7x}{x^{3}}+\dfrac{5}{x^{3}}}.
Simplificando cada razão de potências,
\frac{5x^{3}-3x^{2}+x-4}{2x^{3}+6x^{2}-7x+5} = \frac{5-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{4}{x^{3}}} {2+\dfrac{6}{x}-\dfrac{7}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}}}.

Passo 5

Agora analisamos o limite de cada termo quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{4}{x^{3}}=0,
e análogamente no denominador todos os termos com potências negativas em x tendem a 0. Pelo teorema das operações com limites (soma, diferença e quociente quando o denominador tem limite não nulo), podemos passar ao limite da fração substituindo esses termos por 0.

Passo 6

Tomando limite de ambos numerador e denominador obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{5-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{4}{x^{3}}} {2+\dfrac{6}{x}-\dfrac{7}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}}} = \frac{5-0+0-0}{2+0-0+0}=\frac{5}{2}.

Passo 7

Conclusão e interpretação: o limite existe e vale \dfrac{5}{2}. Intuitivamente, isso acontece porque, para x muito grande, os termos de maior grau ( 5x^{3} e 2x^{3}) dominam os polinômios; os termos de grau menor tornam-se insignificantes em comparação, então a razão aproxima-se da razão entre os coeficientes líderes.

Passo 8

Observação prática (para a prova): regra rápida para limites de razão de polinômios quando x\to\pm\infty:
  • se \deg(\text{num})=\deg(\text{den}), o limite é a razão dos coeficientes líderes;
  • se \deg(\text{num})<\deg(\text{den}), o limite é 0;
  • se \deg(\text{num})>\deg(\text{den}), o limite é \pm\infty (sinal determinado pelos coeficientes líderes e pelo lado do infinito).
    Exemplo rápido: \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}+1}{x^{3}+x}=0 porque o grau do numerador é menor; \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^{4}}{x^{2}}=+\infty porque o grau do numerador é maior.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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