Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{7 x^{2}+5 x-2}{6 x^{4}-7 x^{3}+5 x^{2}-9 x+3}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule, se existir, o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{7x^{2}+5x-2}{6x^{4}-7x^{3}+5x^{2}-9x+3}.
Informações dadas:
  • Numerador: 7x^{2}+5x-2.
  • Denominador: 6x^{4}-7x^{3}+5x^{2}-9x+3.
    A pergunta é se o limite existe quando x\to+\infty e, se existir, qual é o seu valor.

Passo 2

Ideia e lema que vamos usar (explicadinho):
  • Para uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)}, onde P e Q são polinômios, o comportamento quando x\to\pm\infty é dominado pelos termos de maior grau.
  • Se \deg P < \deg Q então o numerador cresce mais devagar que o denominador e o limite é 0.
  • Se \deg P = \deg Q então o limite é a razão dos coeficientes líderes (coeficientes dos maiores expoentes).
  • Se \deg P > \deg Q então o módulo da razão tende a +\infty e o sinal depende dos coeficientes e do sinal de x.
Por que isso é verdade (intuição e técnica):
  • Pegue n=\deg Q. Dividindo numerador e denominador por x^{n} (a maior potência do denominador) todas as parcelas com potências negativas vão a 0 quando x\to\pm\infty. Assim sobra apenas o termo dominante do denominador (um número) e termos que tendem a zero no numerador, se \deg P<n.

Passo 3

Aplicando essa técnica ao nosso limite: o maior expoente no denominador é 4. Dividimos numerador e denominador por x^{4}:
\frac{7x^{2}+5x-2}{6x^{4}-7x^{3}+5x^{2}-9x+3} = \frac{\dfrac{7x^{2}}{x^{4}}+\dfrac{5x}{x^{4}}-\dfrac{2}{x^{4}}}{\dfrac{6x^{4}}{x^{4}}-\dfrac{7x^{3}}{x^{4}}+\dfrac{5x^{2}}{x^{4}}-\dfrac{9x}{x^{4}}+\dfrac{3}{x^{4}}}.
Simplificando as potências:
= \frac{\dfrac{7}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}}-\dfrac{2}{x^{4}}}{6-\dfrac{7}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{9}{x^{3}}+\dfrac{3}{x^{4}}}.

Passo 4

Analisando cada termo quando x\to+\infty:
  • Para qualquer inteiro k>0 vale \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{k}}=0. Isso porque x^{k}\to+\infty, logo a fração tende a 0.
  • Portanto \lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{7}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}}-\dfrac{2}{x^{4}}\right)=0,e \lim_{x\to+\infty}\left(6-\dfrac{7}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{9}{x^{3}}+\dfrac{3}{x^{4}}\right)=6.Aqui uso a propriedade que soma de limites é limite da soma (quando existem).

Passo 5

Como o limite do denominador (após divisão) é 6, que é diferente de zero, podemos usar a regra do quociente de limites:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{7}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}}-\dfrac{2}{x^{4}}}{6-\dfrac{7}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{9}{x^{3}}+\dfrac{3}{x^{4}}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\!\left(\dfrac{7}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{3}}-\dfrac{2}{x^{4}}\right)} {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\!\left(6-\dfrac{7}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{9}{x^{3}}+\dfrac{3}{x^{4}}\right)}.
Pelos resultados do passo anterior, o numerador tende a 0 e o denominador tende a 6.

Passo 6

Conclusão do cálculo (usando o que foi obtido): o limite da função original é o quociente desses limites (denominador não nulo), ou seja, é igual ao quociente de 0 por 6.

Passo 7

Interpretação prática e outro jeitinho rápido: olhar para os graus. Aqui \deg(\text{num})=2 e \deg(\text{den})=4. Como 2<4, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador quando x\to+\infty, então a razão tende a 0. Exemplo parecido: \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x+1}{5x^{2}+2}=0 pelo mesmo motivo.

Resposta

0

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