Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule, se existir, o limite
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
A pergunta é se o limite existe quandoe, se existir, qual é o seu valor.
Passo 2
Ideia e lema que vamos usar (explicadinho):
- Para uma função racional
, onde e são polinômios, o comportamento quando é dominado pelos termos de maior grau. - Se
então o numerador cresce mais devagar que o denominador e o limite é . - Se
então o limite é a razão dos coeficientes líderes (coeficientes dos maiores expoentes). - Se
então o módulo da razão tende a e o sinal depende dos coeficientes e do sinal de .
Por que isso é verdade (intuição e técnica):
- Pegue
. Dividindo numerador e denominador por (a maior potência do denominador) todas as parcelas com potências negativas vão a quando . Assim sobra apenas o termo dominante do denominador (um número) e termos que tendem a zero no numerador, se .
Passo 3
Aplicando essa técnica ao nosso limite: o maior expoente no denominador é
. Dividimos numerador e denominador por
:
Simplificando as potências:
Passo 4
Analisando cada termo quando
:
- Para qualquer inteiro
vale . Isso porque , logo a fração tende a . - Portanto
e Aqui uso a propriedade que soma de limites é limite da soma (quando existem).
Passo 5
Como o limite do denominador (após divisão) é
, que é diferente de zero, podemos usar a regra do quociente de limites:
Pelos resultados do passo anterior, o numerador tende a
e o denominador tende a
.
Passo 6
Conclusão do cálculo (usando o que foi obtido): o limite da função original é o quociente desses limites (denominador não nulo), ou seja, é igual ao quociente de
por
.
Passo 7
Interpretação prática e outro jeitinho rápido: olhar para os graus. Aqui
e
. Como
, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador quando
, então a razão tende a
. Exemplo parecido:
pelo mesmo motivo.
Resposta
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