Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{3 x}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{3x}\right)^{2x}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma potência em que a base tende para 1 e o expoente tende para +\infty quando x\to+\infty.
  • A pergunta é se esse limite existe e, se existir, qual é seu valor.

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): quando uma expressão tem a forma \big(1+\text{algo que vai a }0\big)^{\text{algo que vai a }\infty}, é muito conveniente tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto, calcular o limite do logaritmo e depois aplicar a função exponencial de volta. Isso funciona porque a função exponencial é contínua: se \ln y \to L então y=\mathrm{e}^{\ln y}\to \mathrm{e}^{L}.
Também vou usar o fato padrão e muito útil
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1,
que diz, em linguagem simples, que para u pequeno vale \ln(1+u)\approx u. Esse limite é um resultado básico (pode ser visto como a derivada de \ln em 1 ou obtido por desigualdades/squeeze).

Passo 3

Defino a função cujo limite queremos:
y(x)=\left(1+\frac{1}{3x}\right)^{2x}.
Tomando logaritmo natural:
\ln y(x)=2x\cdot\ln\!\left(1+\frac{1}{3x}\right).
Para estudar o limite de \ln y(x) faço a substituição conveniente
u=\frac{1}{3x}.
Quando x\to+\infty temos u\to 0^+. Em termos de u,
x=\frac{1}{3u}, \qquad \ln y(x)=2\cdot\frac{1}{3u}\cdot\ln(1+u)=\frac{2}{3}\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}.

Passo 4

Agora uso o limite padrão indicado no Passo 2:
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\ln y(x) = \lim_{u\to 0}\frac{2}{3}\cdot\frac{\ln(1+u)}{u} = \frac{2}{3}\cdot 1 = \frac{2}{3}.
Como a exponencial é contínua, passo do logaritmo de volta para a função original:
\lim_{x\to+\infty} y(x)=\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{\ln y(x)}=\mathrm{e}^{\,\tfrac{2}{3}}.
Observação alternativa (curta): também se pode reescrever
\left(1+\frac{1}{3x}\right)^{2x} =\left[\left(1+\frac{1}{3x}\right)^{3x}\right]^{\tfrac{2}{3}}
e usar que \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{3x}\right)^{3x}= \mathrm{e}, obtendo o mesmo resultado \mathrm{e}^{2/3}.

Resposta

\mathrm{e}^{\tfrac{2}{3}}

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