Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma potência em que a base tende para
e o expoente tende para quando . - A pergunta é se esse limite existe e, se existir, qual é seu valor.
Passo 2
Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): quando uma expressão tem a forma
, é muito conveniente tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto, calcular o limite do logaritmo e depois aplicar a função exponencial de volta. Isso funciona porque a função exponencial é contínua: se
então
.
Também vou usar o fato padrão e muito útil
que diz, em linguagem simples, que para
pequeno vale
. Esse limite é um resultado básico (pode ser visto como a derivada de
em
ou obtido por desigualdades/squeeze).
Passo 3
Defino a função cujo limite queremos:
Tomando logaritmo natural:
Para estudar o limite de
faço a substituição conveniente
Quando
temos
. Em termos de
,
Passo 4
Agora uso o limite padrão indicado no Passo 2:
Portanto
Como a exponencial é contínua, passo do logaritmo de volta para a função original:
Observação alternativa (curta): também se pode reescrever
e usar que
, obtendo o mesmo resultado
.