Exercício 17. Considere uma função f(x) que satisfaz a seguinte propriedade:
\operatorname{sen}(2 x-6) \leqslant f(x) \leqslant x^{2}-4 x+3

Passo 1

O enunciado nos dá a desigualdade
\operatorname{sen}(2x-6) \leqslant f(x) \leqslant x^{2}-4x+3
para (presumivelmente) todos os x em algum entorno de 3. A tarefa que vou resolver é calcular
\lim_{x\to 3} f(x).

Passo 2

Vou listar claramente as informações relevantes que temos:
  • A função f(x) satisfaz, para x próximos de 3,
\operatorname{sen}(2x-6) \leqslant f(x) \leqslant x^{2}-4x+3.
  • Quero usar essas desigualdades para encontrar \lim_{x\to 3} f(x).

Passo 3

Lembrete útil (teorema do confronto / squeeze theorem) — explicação didática:
Se duas funções g(x) e h(x) satisfazem g(x)\le f(x)\le h(x) em torno de um ponto a (exceto talvez em a) e
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então pela desigualdade entre as funções temos
\lim_{x\to a} f(x)=L.
Intuição: se g e h “apertam” f por cima e por baixo e ambos se aproximam do mesmo número L, então f fica forçado a também se aproximar de L.

Passo 4

Vou calcular o limite da função inferior \operatorname{sen}(2x-6) quando x\to 3.
Primeiro observo que a expressão dentro do seno tende a
2x-6 \xrightarrow[x\to 3]{} 2\cdot 3 -6 = 0.
A função seno (ou \operatorname{sen}) é contínua em 0, portanto posso trocar limite e aplicação da função:
\lim_{x\to 3} \operatorname{sen}(2x-6) = \operatorname{sen}\!\bigl(\lim_{x\to 3}(2x-6)\bigr) = \operatorname{sen}(0) = 0.
Aqui usei a noção de continuidade: uma função contínua transforma limites de argumentos no limite do valor da função.

Passo 5

Agora calculo o limite da função superior x^{2}-4x+3 quando x\to 3.
Primeiro fatoro o polinômio para facilitar a avaliação:
x^{2}-4x+3 = (x-1)(x-3).
Como polinômios são funções contínuas, basta substituir x=3:
\lim_{x\to 3} \bigl(x^{2}-4x+3\bigr) = (3-1)(3-3)=2\cdot 0 = 0.

Passo 6

Aplicando o teorema do confronto (Passo 3) com g(x)=\operatorname{sen}(2x-6), f(x) e h(x)=x^{2}-4x+3, vimos que
\lim_{x\to 3} g(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 3} h(x)=0.
Como g(x)\le f(x)\le h(x) perto de x=3, concluímos que
\lim_{x\to 3} f(x)=0.

Passo 7

Recapitulando de forma bem prática para a prova:
  • Verifique sempre se os limites das funções que “apertam” f são iguais.
  • Calcule limites das funções extremas usando continuidade (polinômios e seno são contínuos).
  • Então invoque o teorema do confronto para concluir o limite de f.
Força, você chegou até aqui — essa é uma aplicação clássica e direta do teorema do confronto!

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)=0

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