Exercício 16. Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
Qualquer que seja
Qualquer que seja
Passo 1
O enunciado pede para provar que qualquer inteiro
satisfaz
O conteúdo envolve propriedades de sinais e de produto na teoria dos inteiros. Vamos usar um argumento por casos: um em que
e outro em que
, usando a propriedade de que o produto de dois inteiros não-negativos é não-negativo.
Passo 2
Caso
:
Nesse caso é inteiro não-negativo. Pelas propriedades básicas dos inteiros, o produto de dois números não-negativos também é não-negativo. Logo,
Nesse caso
Passo 3
Caso
:
Aqui é um inteiro positivo, pois
. Aplicando o caso anterior a
, temos
Aqui
Mas
. Portanto
Passo 4
Como um inteiro
satisfaz ou
ou
, cobrimos todas as possibilidades. Logo, concluímos que para todo
,
Resposta
Para qualquer inteiro
,
.