Exercício 16. Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
Qualquer que seja
Qualquer que seja
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para qualquer inteiro
, sempre vale
O conteúdo aqui envolve propriedades de ordem em
e regras de sinais na multiplicação. Vamos usar análise de casos conforme o sinal de
.
Passo 2
Observação útil: em
, se
e
, então
Aplicaremos isso no caso
.
Passo 3
Caso
:
Como , pela observação acima temos
Como
Logo, a desigualdade está estabelecida sempre que
for não-negativo.
Passo 4
Caso
:
Defina . Então
, logo
. Pelo caso anterior,
Defina
Mas
Portanto,
também quando
.
Passo 5
Juntando os dois casos —
e
— concluímos que, para todo
,
Resposta
Para qualquer inteiro
, tem-se
.