Exercício 16. Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
Qualquer que seja m, m^{2} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para qualquer inteiro m, sempre vale
m^2 \ge 0.
O conteúdo aqui envolve propriedades de ordem em \mathbb{Z} e regras de sinais na multiplicação. Vamos usar análise de casos conforme o sinal de m.

Passo 2

Observação útil: em \mathbb{Z}, se a\ge0 e b\ge0, então
a\cdot b \ge 0.
Aplicaremos isso no caso m\ge0.

Passo 3

Caso m\ge0:
Como m\ge0, pela observação acima temos
m^2 = m\cdot m \ge 0\cdot m = 0.
Logo, a desigualdade está estabelecida sempre que m for não-negativo.

Passo 4

Caso m<0:
Defina n = -m. Então n>0, logo n\ge0. Pelo caso anterior,
n^2 \ge 0.
Mas
n^2 = (-m)^2 = (-m)\cdot(-m) = (-1\cdot m)\cdot(-1\cdot m) = (-1)\cdot(-1)\cdot m\cdot m = m^2.
Portanto, m^2 = n^2 \ge 0 também quando m<0.

Passo 5

Juntando os dois casos — m\ge0 e m<0 — concluímos que, para todo m\in\mathbb{Z},
m^2 \ge 0.

Resposta

Para qualquer inteiro m, tem-se m^2\ge0.

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