- Exercício 4.16. Um forno retangular de uma fábrica de cerâmica está isolado com duas camadas, sendo a primeira, que está em contato com a carga do forno, de refratário especial (
) e a outra de um bom isolante (
.
). Sabe-se que a temperatura da face interna do forno é
e que a temperatura do ar ambiente é
, com coeficiente de película de
.
. O fluxo de calor através da parede do forno, de 40 cm de espessura, é igual a
. Pede-se:
a) A espessura de cada camada que forma a parede do forno;
b) A temperatura da interface das camadas;
a) A espessura de cada camada que forma a parede do forno;
b) A temperatura da interface das camadas;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
- Temperatura da face interna do forno:
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Coeficiente de película (convecção) do lado externo:
. - Condutividade térmica da camada interna (refratário):
. - Condutividade térmica da camada externa (isolante):
. - Espessura total da parede:
. - Fluxo de calor através da parede (por unidade de área):
.
O enunciado pede:
(a) A espessura de cada camada: (refratário, junto à face interna) e
(isolante, junto ao ar externo), com
.
(b) A temperatura da interface entre as duas camadas (ou seja, a temperatura na superfície entre o refratário e o isolante).
(a) A espessura de cada camada:
(b) A temperatura da interface entre as duas camadas (ou seja, a temperatura na superfície entre o refratário e o isolante).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas).
-
Fluxo de calor unidimensional em regime permanente através de uma parede plana composta por camadas e convecção externa pode ser tratado como uma “cadeia” de resistências térmicas em série. A analogia elétrica: diferença de temperatura ↔ diferença de potencial; fluxo de calor por área
↔ corrente elétrica; resistências térmicas em série somam. -
Resistência por condução de uma camada plana homogênea:
onde
é a espessura da camada
(em
) e
é a condutividade térmica (em
). A unidade de
é
quando consideramos resistência por unidade de área.
- Resistência por convecção na superfície externa:
onde
está em
.
- Lei geral (analogia de Ohm térmica) para fluxo por unidade de área:
com
Explicando as variáveis de forma direta:
-
é o fluxo térmico por área (o que nos foi dado). -
e são temperaturas conhecidas. -
e são incógnitas, mas temos a relação . - A partir de
podemos obter e daí a soma das resistências de condução; usando a soma e a relação entre as espessuras resolvemos para e .
Passo 3
Calcular a resistência térmica total usando
.
Usando
temos
Substituindo os valores (tudo em TeX):
Agora a resistência por convecção é
Logo a resistência total de condução (somada das duas camadas) é
Interpretação: as duas camadas juntas devem oferecer resistência térmica de
para que, junto com a convecção externa, o fluxo seja
.
Passo 4
Expressar a soma das resistências de condução em termos de
e
e usar
.
A soma das resistências de condução é
Substituindo
e os valores de
e
:
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro simplifico os termos escrevendo os recíprocos:
Então
Passo 5
Resolver a equação passo a passo (álgebra limpa e explicada).
Desenvolvendo:
Agrupo os termos em
:
Calculo os coeficientes:
e
Logo a equação fica
Multiplico ambos os lados por
para evitar frações:
Subtraio
:
Divido por
:
Para ficar exato (frações acima levam a mesma resposta), então
E
Resumo intermédio: a maior parte da espessura fica com o refratário (camada de menor resistência por espessura, ou seja, maior
), e uma camada fina do bom isolante (com
pequeno) é suficiente para atingir a resistência necessária.
Passo 6
Calcular a temperatura na interface entre as camadas.
A queda de temperatura através da primeira camada (refratário) é
Substituindo os valores (tudo em TeX):
Multiplicando por
:
Portanto a temperatura na interface (temperatura depois da camada 1, olhando de dentro para fora) é
Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
(Verificação rápida: queda através da segunda camada
mais a queda por convecção
somam
. Se quiser, pode checar numericamente.)