• Exercício 4.16. Um forno retangular de uma fábrica de cerâmica está isolado com duas camadas, sendo a primeira, que está em contato com a carga do forno, de refratário especial ( \mathrm{k}=0,6 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) e a outra de um bom isolante ( \mathrm{k}=0,09 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}. { }^{\circ} \mathrm{C} ). Sabe-se que a temperatura da face interna do forno é 900^{\circ} \mathrm{C} e que a temperatura do ar ambiente é 20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película de 20 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2}. { }^{\circ} \mathrm{C}. O fluxo de calor através da parede do forno, de 40 cm de espessura, é igual a 800 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2}. Pede-se:
    a) A espessura de cada camada que forma a parede do forno;
    b) A temperatura da interface das camadas;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Temperatura da face interna do forno: \,T_i = 900^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: \,T_\infty = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de película (convecção) do lado externo: \,h = 20\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Condutividade térmica da camada interna (refratário): \,k_1 = 0,6\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Condutividade térmica da camada externa (isolante): \,k_2 = 0,09\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Espessura total da parede: \,x_1 + x_2 = 0,40\\ \mathrm{m}.
  • Fluxo de calor através da parede (por unidade de área): \,q'' = 800\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).
O enunciado pede:
(a) A espessura de cada camada: \,x_1 (refratário, junto à face interna) e \,x_2 (isolante, junto ao ar externo), com \,x_1+x_2=0,40\\ \mathrm{m}.
(b) A temperatura da interface entre as duas camadas (ou seja, a temperatura na superfície entre o refratário e o isolante).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas).
  1. Fluxo de calor unidimensional em regime permanente através de uma parede plana composta por camadas e convecção externa pode ser tratado como uma “cadeia” de resistências térmicas em série. A analogia elétrica: diferença de temperatura ↔ diferença de potencial; fluxo de calor por área \,q'' ↔ corrente elétrica; resistências térmicas em série somam.
  2. Resistência por condução de uma camada plana homogênea:
R_{\text{cond},i}=\frac{x_i}{k_i},
onde \,x_i é a espessura da camada i (em \mathrm{m}) e \,k_i é a condutividade térmica (em \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C})). A unidade de R é \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal} quando consideramos resistência por unidade de área.
  1. Resistência por convecção na superfície externa:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h},
onde \,h está em \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  1. Lei geral (analogia de Ohm térmica) para fluxo por unidade de área:
q''=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{total}}},
com
R_{\text{total}}=R_{\text{cond},1}+R_{\text{cond},2}+R_{\text{conv}}.
Explicando as variáveis de forma direta:
  • \,q'' é o fluxo térmico por área (o que nos foi dado).
  • \,T_i e \,T_\infty são temperaturas conhecidas.
  • \,x_1 e \,x_2 são incógnitas, mas temos a relação \,x_1+x_2=0,40\\ \mathrm{m}.
  • A partir de \,q'' podemos obter \,R_{\text{total}} e daí a soma das resistências de condução; usando a soma e a relação entre as espessuras resolvemos para \,x_1 e \,x_2.

Passo 3

Calcular a resistência térmica total usando \,q''.
Usando
q''=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{total}}},
temos
R_{\text{total}}=\frac{T_i-T_\infty}{q''}.
Substituindo os valores (tudo em TeX):
R_{\text{total}}=\frac{900-20}{800}=\frac{880}{800}=1,1\\ \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
Agora a resistência por convecção é
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h}=\frac{1}{20}=0,05\\ \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
Logo a resistência total de condução (somada das duas camadas) é
R_{\text{cond,tot}}=R_{\text{total}}-R_{\text{conv}}=1,1-0,05=1,05\\ \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
Interpretação: as duas camadas juntas devem oferecer resistência térmica de \,1,05 para que, junto com a convecção externa, o fluxo seja \,800.

Passo 4

Expressar a soma das resistências de condução em termos de \,x_1 e \,x_2 e usar \,x_1+x_2=0,4.
A soma das resistências de condução é
\frac{x_1}{k_1}+\frac{x_2}{k_2}=R_{\text{cond,tot}}.
Substituindo \,x_2=0,4-x_1 e os valores de \,k_1 e \,k_2:
\frac{x_1}{0,6}+\frac{0,4-x_1}{0,09}=1,05.
Vamos resolver essa equação para \,x_1. Primeiro simplifico os termos escrevendo os recíprocos:
\frac{1}{0,6}=\frac{5}{3}\quad\text{e}\quad\frac{1}{0,09}=\frac{100}{9}.
Então
x_1\cdot\frac{5}{3}+(0,4-x_1)\cdot\frac{100}{9}=1,05.

Passo 5

Resolver a equação passo a passo (álgebra limpa e explicada).
Desenvolvendo:
x_1\cdot\frac{5}{3}+\;0,4\cdot\frac{100}{9}-x_1\cdot\frac{100}{9}=1,05.
Agrupo os termos em x_1:
x_1\left(\frac{5}{3}-\frac{100}{9}\right)+\frac{0,4\cdot100}{9}=1,05.
Calculo os coeficientes:
\frac{5}{3}-\frac{100}{9}=\frac{15-100}{9}=-\frac{85}{9},
e
\frac{0,4\cdot100}{9}=\frac{40}{9}\approx4,444\ldots
Logo a equação fica
-\frac{85}{9}x_1+\frac{40}{9}=1,05.
Multiplico ambos os lados por 9 para evitar frações:
-85x_1+40=9\times1,05=9,45.
Subtraio 40:
-85x_1=9,45-40=-30,55.
Divido por -85:
x_1=\frac{30,55}{85}\approx0,3594117647\\ \mathrm{m}.
Para ficar exato (frações acima levam a mesma resposta), então
x_1\approx0,35941\\ \mathrm{m}=35,941\\ \mathrm{cm}.
E
x_2=0,4-x_1\approx0,4-0,3594117647=0,0405882353\\ \mathrm{m}\approx4,059\\ \mathrm{cm}.
Resumo intermédio: a maior parte da espessura fica com o refratário (camada de menor resistência por espessura, ou seja, maior k), e uma camada fina do bom isolante (com k pequeno) é suficiente para atingir a resistência necessária.

Passo 6

Calcular a temperatura na interface entre as camadas.
A queda de temperatura através da primeira camada (refratário) é
\Delta T_1 = q''\cdot R_{\text{cond},1}=q''\cdot\frac{x_1}{k_1}.
Substituindo os valores (tudo em TeX):
\frac{x_1}{k_1}=\frac{0,3594117647}{0,6}\approx0,5990196078\\ \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
Multiplicando por q''=800:
\Delta T_1 \approx 800\times0,5990196078\approx479,2156862\\ ^\circ\mathrm{C}.
Portanto a temperatura na interface (temperatura depois da camada 1, olhando de dentro para fora) é
T_{\text{interface}}=T_i-\Delta T_1\approx900-479,2156862\approx420,7843138\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
T_{\text{interface}}\approx420,78\\ ^\circ\mathrm{C}.
(Verificação rápida: queda através da segunda camada \Delta T_2 = q''\cdot x_2/k_2 mais a queda por convecção q''\cdot R_{\text{conv}} somam 900-20=880^\circ\mathrm{C}. Se quiser, pode checar numericamente.)

Resposta

x_1 \approx 0,35941\\ \mathrm{m} (35,941 cm)
x_2 \approx 0,04059\\ \mathrm{m} (4,059 cm)
T_{\text{interface}} \approx 420,78^\circ\mathrm{C}

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