• Exercício 4.17. O interior de um refrigerador, cujas dimensões são 0,5 \times 0,5 \mathrm{~m} de área da base e 1,25 \mathrm{~m} de altura, deve ser mantido a 4^{\circ} \mathrm{C}. As paredes do refrigerador são construidas de duas chapas de aço ( \mathrm{k}=36 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ) de 3 mm de espessura, com 65 mm de material isolante ( \mathrm{k}=0,213 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) entre elas. O coeficiente de película da superfície interna é 10 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}, enquanto que na superfície externa varia de 8 a 12,5 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}. Calcular:
    a) A potência ( em HP ) do motor do refrigerador para que o fluxo de calor removido do interior da geladeira mantenha a temperatura especificada, numa cozinha cuja temperatura pode variar de 20 a 30^{\circ} \mathrm{C};
    b) As temperatura das superfícies interna e externa da parede.
\text { DADO : } 1 \mathrm{HP}=641,2 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) A potência (em HP) do motor do refrigerador para que a taxa de calor removida mantenha o interior a 4^\circ\mathrm{C}, quando a cozinha pode ter temperatura entre 20^\circ\mathrm{C} e 30^\circ\mathrm{C} e o coeficiente de película externo varia de 8 a 12{,}5\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • (b) As temperaturas das superfícies interna e externa da parede (ou seja, a temperatura da face interna que está em contato com o ar interno e a temperatura da face externa que está em contato com o ar da cozinha).
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Área da base: 0{,}5\times0{,}5\\ \mathrm{m} → área da base =0{,}25\\ \mathrm{m}^2.
  • Altura: 1{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Logo, área total externa (4 paredes + topo + fundo) assumida: A = \text{área lateral} + 2\times\text{área base} = (4\times0{,}5)\times1{,}25 + 2\times0{,}25 = 2{,}5 + 0{,}5 = 3{,}0\\ \mathrm{m}^2.áá
  • Espessura das chapas de aço: t_{\text{aço}} = 3\\ \mathrm{mm} = 0{,}003\\ \mathrm{m}ç (duas chapas: interna e externa).
  • Condutividade do aço: k_{\text{aço}} = 36\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C})ç.
  • Espessura do isolante: t_{\text{iso}} = 65\\ \mathrm{mm} = 0{,}065\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade do isolante: k_{\text{iso}} = 0{,}213\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Coeficiente de película interno: h_i = 10\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Coeficiente de película externo: h_e varia entre 8 e 12{,}5\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Temperatura interna desejada: T_i = 4^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa (cozinha): T_e varia entre 20^\circ\mathrm{C} e 30^\circ\mathrm{C}.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{HP} = 641{,}2\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.

Passo 2

Modelo e ideia de cálculo (explicação didática e fórmulas usadas).
Quando o calor atravessa a parede composta por convecção na superfície interna, uma lâmina de aço, isolante e outra lâmina de aço e finalmente convecção externa, cada trecho oferece uma resistência térmica. A analogia elétrica é útil: a diferença de temperatura entre o ar externo e o ar interno é “aplicada” sobre uma série de resistências; a taxa de calor por unidade de área q'' é análoga à corrente elétrica.
As resistências por unidade de área (resistência superficial ou específica, em \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}) são:
  • Convecção interna: \displaystyle R''_{ci}=\dfrac{1}{h_i}.
  • Condução na chapa de aço (cada chapa): \displaystyle R''_{\text{aço}}=\dfrac{t_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}}.ççç Há duas chapas, então contribuem 2R''_{\text{aço}}ç.
  • Condução no isolante: \displaystyle R''_{\text{iso}}=\dfrac{t_{\text{iso}}}{k_{\text{iso}}}.
  • Convecção externa: \displaystyle R''_{ce}=\dfrac{1}{h_e}.
A resistência térmica total por unidade de área é:
R''_{\text{total}}=R''_{ci}+2R''_{\text{aço}}+R''_{\text{iso}}+R''_{ce}.ç
A taxa de calor por unidade de área é
q''=\dfrac{T_e-T_i}{R''_{\text{total}}}\quad\text{(em }\mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\text{)}.
A taxa de calor total é
Q=A\cdot q''\quad\text{(em }\mathrm{kcal}/\mathrm{h}\text{)}.
Finalmente a potência em HP é \displaystyle P_{\mathrm{HP}}=\dfrac{Q}{641{,}2}.
Observação didática: cada termo tem unidade consistente. Exemplos rápidos:
  • Se h=10, então 1/h=0{,}1\\ \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}.
  • Se t=0{,}003\\ \mathrm{m} e k=36, então t/k=8{,}33\cdot10^{-5}\\ \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{kcal}, pequeno porque o aço é muito condutor.

Passo 3

Calcular numericamente as resistências por unidade de área.
Calcule cada termo:
R''_{ci}=\frac{1}{h_i}=\frac{1}{10}=0{,}1.
R''_{\text{aço}}=\frac{t_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}}=\frac{0{,}003}{36}=0{,}0000833333\ldotsççç
Logo 2R''_{\text{aço}}=0{,}0001666667ç.
R''_{\text{iso}}=\frac{t_{\text{iso}}}{k_{\text{iso}}}=\frac{0{,}065}{0{,}213}\approx0{,}3051643193.
Somando os termos que não dependem de h_e:
R''_{\text{fixo}}=R''_{ci}+2R''_{\text{aço}}+R''_{\text{iso}} =0{,}1+0{,}0001666667+0{,}3051643193\approx0{,}4053309860.ç
Agora incluiu-se R''_{ce}=1/h_e, que varia com h_e:
  • Para h_e=12{,}5: R''_{ce}=0{,}08 R''_{\text{total}}=0{,}4053309860+0{,}08=0{,}4853309860.
  • Para h_e=8: R''_{ce}=0{,}125 R''_{\text{total}}=0{,}4053309860+0{,}125=0{,}5303309860.

Passo 4

Calcular q'' e Q para os extremos de temperatura da cozinha e dos coeficientes convectivos; identificar o caso crítico (maior carga térmica).
Vamos calcular para os extremos relevantes:
  • Caso A (pior caso): T_e=30^\circ\mathrm{C} e h_e=12{,}5 (aumenta \Delta T e reduz resistência externa, produzindo maior fluxo).
  • Caso B (melhor isolamento/menor fluxo): T_e=20^\circ\mathrm{C} e h_e=8.
Cálculo caso A:
\Delta T = T_e-T_i = 30-4 = 26^\circ\mathrm{C}.
q''=\frac{\Delta T}{R''_{\text{total}}}=\frac{26}{0{,}4853309860}\approx53{,}606\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).
Q = A\cdot q'' = 3{,}0\times53{,}606 \approx160{,}818\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
Potência em HP:
P_{\mathrm{HP}}=\frac{Q}{641{,}2}=\frac{160{,}818}{641{,}2}\approx0{,}2509\\ \mathrm{HP}\approx0{,}251\\ \mathrm{HP}.
Cálculo caso B:
\Delta T = 20-4=16^\circ\mathrm{C}.
q''=\frac{16}{0{,}5303309860}\approx30{,}182\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).
Q = 3{,}0\times30{,}182 \approx90{,}546\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}.
P_{\mathrm{HP}}=\frac{90{,}546}{641{,}2}\approx0{,}1412\\ \mathrm{HP}.
Observação prática: como o motor deve aguentar a situação mais desfavorável, a potência necessária é a do caso A, aproximadamente 0{,}251\\ \mathrm{HP}. (Em projeto real escolhe-se um motor com capacidade comercialmente disponível e margem; por exemplo 0{,}25\\ \mathrm{HP} é muito perto, mas tecnicamente 0{,}251 é ligeiramente maior.)

Passo 5

Calcular as temperaturas das superfícies internas e externas da parede (caso crítico e caso favorável), mostrando como se obtém as quedas de temperatura.
Temperatura da superfície interna (face que toca o ar interno) T_{s,i}: a queda entre o ar interno T_i e a superfície é \Delta T_{ci}=q''\cdot R''_{ci}=q''\cdot(1/h_i). Portanto
T_{s,i}=T_i+\Delta T_{ci}=T_i+q''\frac{1}{h_i}.
Temperatura da superfície externa T_{s,e}: a queda entre o ar externo T_e e a superfície externa é \Delta T_{ce}=q''\cdot R''_{ce}=q''\cdot(1/h_e). Assim
T_{s,e}=T_e-\Delta T_{ce}=T_e-q''\frac{1}{h_e}.
Cálculos numéricos.
Caso A (pior caso: T_e=30^\circ\mathrm{C},\\ h_e=12{,}5,\\ q''\approx53{,}606):
\Delta T_{ci}=53{,}606\times\frac{1}{10}=5{,}3606^\circ\mathrm{C},
T_{s,i}=4+5{,}3606\approx9{,}361^\circ\mathrm{C}.
\Delta T_{ce}=53{,}606\times\frac{1}{12{,}5}=53{,}606\times0{,}08\approx4{,}2885^\circ\mathrm{C},
T_{s,e}=30-4{,}2885\approx25{,}711^\circ\mathrm{C}.
Caso B (melhor caso: T_e=20^\circ\mathrm{C},\\ h_e=8,\\ q''\approx30{,}182):
\Delta T_{ci}=30{,}182\times\frac{1}{10}=3{,}0182^\circ\mathrm{C},
T_{s,i}=4+3{,}0182\approx7{,}018^\circ\mathrm{C}.
\Delta T_{ce}=30{,}182\times\frac{1}{8}=30{,}182\times0{,}125\approx3{,}7728^\circ\mathrm{C},
T_{s,e}=20-3{,}7728\approx16{,}227^\circ\mathrm{C}.
Verificação rápida: as quedas de temperatura somam \Delta T_{ci}+\Delta T_{\text{cond}}+\Delta T_{ce}=\Delta T. A queda na parte condutiva (chapas+isolante) é q''\times(2t_{\text{aço}}/k_{\text{aço}}+t_{\text{iso}}/k_{\text{iso}})çç, que corresponde à diferença T_{s,e}-T_{s,i} — e os valores obtidos acima são compatíveis (verificação numérica feita durante os cálculos).

Resposta

(a) Potência necessária (situação mais desfavorável, T_e=30^\circ\mathrm{C},\\ h_e=12{,}5): 0{,}251\\ \mathrm{HP}.
(b) Temperaturas das superfícies:
  • Caso pior ( T_e=30^\circ\mathrm{C},\\ h_e=12{,}5 ): T_{s,i}\approx9{,}36^\circ\mathrm{C} e T_{s,e}\approx25{,}71^\circ\mathrm{C}.
  • Caso favorável ( T_e=20^\circ\mathrm{C},\\ h_e=8 ): T_{s,i}\approx7{,}02^\circ\mathrm{C} e T_{s,e}\approx16{,}23^\circ\mathrm{C}.

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