• Exercício 4.16. Um forno retangular de uma fábrica de cerâmica está isolado com duas camadas, sendo a primeira, que está em contato com a carga do forno, de refratário especial ( \mathrm{k}=0,6 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) e a outra de um bom isolante ( \mathrm{k}=0,09 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ). Sabe-se que a temperatura da face interna do forno é 900^{\circ} \mathrm{C} e que a temperatura do ar ambiente é 20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película de 20 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. O fluxo de calor através da parede do forno, de 40 cm de espessura, é igual a 800 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2}. Pede-se:
    a) A espessura de cada camada que forma a parede do forno;
    b) A temperatura da interface das camadas;
    c) Se for especificada uma temperatura máxima de 30^{\circ} \mathrm{C} na parede externa do forno, qual a nova espessura isolante necessária?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados (pegos do enunciado):
  • Condutividade térmica da camada interna (refratário): k_1=0{,}6\\ \mathrm{kcal}\!/\!(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}).
  • Condutividade térmica da camada externa (isolante): k_2=0{,}09\\ \mathrm{kcal}\!/\!(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}).
  • Temperatura da face interna do forno: T_i=900{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty=20{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • Coeficiente de película (convecção) na face externa: h=20\\ \mathrm{kcal}\!/\!(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}).
  • Espessura total da parede: x_1 + x_2 = 0{,}40\\ \mathrm{m} (40 cm).
  • Fluxo de calor através da parede (por unidade de área): \dot{q}''=800\\ \mathrm{kcal}\!/\!(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).
Pede-se:
(a) A espessura de cada camada, isto é x_1 (refratário, interna) e x_2 (isolante, externa), que somam 0{,}40\\ \mathrm{m}.
(b) A temperatura da interface entre as duas camadas.
(c) Se for exigida temperatura máxima de 30{ }^{\circ}\mathrm{C} na parede externa, qual a nova espessura isolante necessária (assumir a espessura do refratário encontrada em (a) fixa).

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicadinho):
  • Em regime estacionário e em uma parede plana com camadas em série e convecção externa, o fluxo de calor por unidade de área \dot{q}'' é dado por
\dot{q}''=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}} é a resistência térmica total entre a face interna e o ar ambiente.
  • Para duas camadas em série mais convecção externa:
R_{\text{total}} = R_{\text{cond},1} + R_{\text{cond},2} + R_{\text{conv}},
com
R_{\text{cond},1}=\frac{x_1}{k_1},\qquad R_{\text{cond},2}=\frac{x_2}{k_2},\qquad R_{\text{conv} }=\frac{1}{h}.
Aqui cada R tem unidades \mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{kcal}. A interpretação: cada resistência multiplica o fluxo para dar a queda de temperatura sobre ela: \Delta T = \dot{q}''\,R.
  • Vamos usar essas relações para obter duas equações: a equação do fluxo (que fornece R_{\text{total}}) e a condição geométrica x_1+x_2=0{,}40. Resolvem-se para x_1 e x_2.

Passo 3

Calcular a resistência térmica total a partir do fluxo dado:
R_{\text{total}}=\frac{T_i-T_\infty}{\dot{q}''}=\frac{900-20}{800}=\frac{880}{800}=1{,}1\\ \mathrm{h\cdot m^2\cdot{}^\circ C}/\mathrm{kcal}.
Calcular a resistência de convecção (externa):
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h}=\frac{1}{20}=0{,}05\\ \mathrm{h\cdot m^2\cdot{}^\circ C}/\mathrm{kcal}.
Assim a resistência total de condução (somatório das duas camadas) é
R_{\text{cond, total}}=R_{\text{total}}-R_{\text{conv}}=1{,}1-0{,}05=1{,}05\\ \mathrm{h\cdot m^2\cdot{}^\circ C}/\mathrm{kcal}.
Portanto devemos ter
\frac{x_1}{k_1}+\frac{x_2}{k_2}=1{,}05, \qquad x_1+x_2=0{,}40.

Passo 4

Resolver o sistema linear para x_1 e x_2.
Da segunda equação x_1=0{,}40-x_2. Substituindo na primeira:
\frac{0{,}40-x_2}{k_1}+\frac{x_2}{k_2}=1{,}05.
Agora substituir os k numéricos ( k_1=0{,}6, k_2=0{,}09):
\frac{0{,}40-x_2}{0{,}6}+\frac{x_2}{0{,}09}=1{,}05.
Calcule passo a passo:
\frac{0{,}40}{0{,}6}= \frac{2}{3}=0{,}666\overline{6}.
Logo
0{,}666\overline{6}-\frac{x_2}{0{,}6}+\frac{x_2}{0{,}09}=1{,}05.
Isolando os termos com x_2:
x_2\!\left(-\frac{1}{0{,}6}+\frac{1}{0{,}09}\right)=1{,}05-0{,}666\overline{6}.
Calcular os recíprocos:
\frac{1}{0{,}6}=1{,}666\overline{6},\qquad \frac{1}{0{,}09}=11{,}111\overline{1}.
Então o coeficiente de x_2 é
-1{,}666\overline{6}+11{,}111\overline{1}=9{,}444\overline{4}.
O lado direito:
1{,}05-0{,}666\overline{6}=0{,}383\overline{3}.
Portanto
x_2=\frac{0{,}383\overline{3}}{9{,}444\overline{4}}.

Passo 5

Fazer a divisão para obter x_2 numericamente:
x_2\approx 0{,}040588235\\ \mathrm{m}\approx 0{,}04059\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros: x_2\approx 4{,}06\\ \mathrm{cm}.
Agora x_1=0{,}40-x_2:
x_1\approx 0{,}40-0{,}040588235=0{,}359411765\\ \mathrm{m}\approx 0{,}35941\\ \mathrm{m},
ou seja x_1\approx 35{,}94\\ \mathrm{cm}.
(Resumo numérico: camada refratária interna cerca de 0{,}3594\\ \mathrm{m}; isolante externo cerca de 0{,}04059\\ \mathrm{m}.)

Passo 6

Calcular a temperatura da interface entre as camadas.
A queda de temperatura na camada 1 (refratário) é
\Delta T_1=\dot{q}''\frac{x_1}{k_1}.
Calcular:
\frac{x_1}{k_1}=\frac{0{,}359411765}{0{,}6}=0{,}599019608\\ \mathrm{h\cdot m^2\cdot{}^\circ C}/\mathrm{kcal}.
Logo
\Delta T_1=\dot{q}''\cdot\frac{x_1}{k_1}=800\times 0{,}599019608=479{,}215686\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Portanto a temperatura da interface (lado entre as camadas) é
T_{\text{interface}}=T_i-\Delta T_1=900-479{,}215686\approx 420{,}784314\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando: T_{\text{interface}}\approx 420{,}78\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Como checagem rápida, a queda na camada 2 é
\Delta T_2=\dot{q}''\frac{x_2}{k_2}=800\times\frac{0{,}040588235}{0{,}09}\approx 360{,}784314\\ ^{\circ}\mathrm{C},
então T_{\text{externa}}=T_{\text{interface}}-\Delta T_2\approx 420{,}784314-360{,}784314=60{ }^{\circ}\mathrm{C}, e a convecção leva de 60{ }^{\circ}\mathrm{C} a 20{ }^{\circ}\mathrm{C} com h=20, gerando exatamente \dot{q}''=20\cdot(60-20)=800, conformando o cálculo (boa checagem).

Passo 7

Agora a pergunta (c): se for exigida temperatura máxima na superfície externa igual a 30{ }^{\circ}\mathrm{C}, qual a nova espessura do isolante necessária? Aqui adotamos que a espessura do refratário x_1 permanece igual à encontrada em (a) (isso é razoável: normalmente só se aumenta o isolante externo). Procedimento:
  • Se a superfície externa tiver T_{\text{ext}}=30{ }^{\circ}\mathrm{C}, então o fluxo convectivo será
\dot{q}''_{\text{novo}}=h\,(T_{\text{ext}}-T_\infty)=20\cdot(30-20)=20\cdot 10=200\\ \mathrm{kcal}\!/\!(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).
Observação: o fluxo diminui porque a superfície externa está mais fria (menor diferença com o ar), então menos calor sai por unidade de área.
  • Com esse novo \dot{q}''_{\text{novo}} e com x_1 fixo, a temperatura na interface será
T_{\text{interface, novo}}=T_i-\dot{q}''_{\text{novo}}\frac{x_1}{k_1}.
Calcular:
\frac{x_1}{k_1}=0{,}599019608\\ \text{(já calculado)}.á
T_{\text{interface, novo}}=900-200\times 0{,}599019608 =900-119{,}8039216\approx 780{,}196078\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • A partir daí, a espessura do isolante x_{2,\text{novo}} necessária para que a queda de temperatura através dele seja exatamente T_{\text{interface, novo}}-T_{\text{ext}} é
x_{2,\text{novo}}= \frac{k_2\,(T_{\text{interface, novo}}-T_{\text{ext}})}{\dot{q}''_{\text{novo}}}.
Substituindo números:
x_{2,\text{novo}}=\frac{0{,}09\cdot(780{,}196078-30)}{200}=\frac{0{,}09\cdot 750{,}196078}{200}.
Calcule:
\frac{750{,}196078}{200}=3{,}75098039,\qquad 0{,}09\times 3{,}75098039=0{,}337588235\\ \mathrm{m}.
Então
x_{2,\text{novo}}\approx 0{,}337588235\\ \mathrm{m}\approx 0{,}33759\\ \mathrm{m},
ou seja cerca de 33{,}76\\ \mathrm{cm}.
Observação final: com essa nova espessura, o total x_1+x_{2,\text{novo}}\approx 0{,}35941+0{,}33759\approx 0{,}697\\ \mathrm{m} (aprox. 69{,}7\\ \mathrm{cm} de parede), e o fluxo ficou \dot{q}''_{\text{novo}}=200\\ \mathrm{kcal}\!/\!(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).

Resposta

(a) x_1\approx 0{,}35941\\ \mathrm{m} (35,94 cm) e x_2\approx 0{,}040588\\ \mathrm{m} (4,06 cm).
(b) T_{\text{interface}}\approx 420{,}78\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
(c) x_{2,\text{novo}}\approx 0{,}33759\\ \mathrm{m} (33,76 cm).

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