Questão 4(2,5) - Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora composta por um trecho de 1500 m de comprimento e 150 mm de diâmetro, seguido por outro trecho de 900 m de comprimento e 100 mm de diâmetro. A adutora é de aço soldado, em uso. A vazão total que entra no sistema é 25 \mathrm{~L} / \mathrm{s} e toda a água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento q (vazão de distribuição unitária) nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade de jusante seja nula. Determine a perda de carga total na adutora (0,00 \mathrm{~m}), desprezando as perdas localizada ao longo da adutora. Indique a vazão de distribuição em marcha ( 0,0000 \mathrm{~L} / \mathrm{s} . \mathrm{m} ) e apresente também um croqui do sistema de distribuição.
Table 1: Material de apoio
\captionsetup{labelformat=empty}
Coeficiente de Hazen-Williams
Aço corrugado (chapa ondulada) 60 Aço com juntas lock-bar, tubos novos 130
Aço com juntas lock-bar, em serviço 110 Aço galvanizado 125
Aço rebitado, tubos novos 130 Aço rebitado, em uso 85
Aço soldado, tubos novos 130 Aço soldado, em uso 90
Aço soldado com revestimento especial 130 Concreto, acabamento comum 130
Concreto, bom acabamento 130 Ferro fundido, após 15-20 anos de uso 120
Ferro fundido, novos 90 Ferro fundido revestido de cimento 100
Ferro fundido, usados 120 Tubos extrudados, PVC 130
150
K Acessório
Acessório K Acessório K
Cotovelo de 90^{\circ} raio curto 0,9 Válvula de gaveta aberta 0,5
Cotovelo de 90^{\circ} raio longo 0,6 Válvula de ângulo aberta 5
Cotovelo de 45^{\circ} 0,4 Válvula de globo aberta 10
Curva 90^{\circ}, \mathrm{r} / \mathrm{D}=1 0,4 Válvula de pé com crivo 10
Curva de 45^{\circ} 0,9 Válvula de retenção 3
Té, passagem direta 2,0 Curva de retorno, \alpha=180^{\circ} 2,2
Válvula de boia 6

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do sistema (peguei os números do enunciado):
    • Trecho 1: comprimento L_1 = 1500\\ \mathrm{m}, diâmetro D_1 = 150\\ \mathrm{mm} = 0,150\\ \mathrm{m}.
    • Trecho 2: comprimento L_2 = 900\\ \mathrm{m}, diâmetro D_2 = 100\\ \mathrm{mm} = 0,100\\ \mathrm{m}.
    • Vazão total que entra no sistema: Q_{\text{tot}} = 25\\ \mathrm{L/s} = 0,025\\ \mathrm{m^3/s}.
    • A água é distribuída uniformemente por unidade de comprimento (vazão de distribuição q, mesma nos dois trechos), e a vazão na extremidade jusante é nula.
  • O que se pede:
    1. Determinar a perda de carga total na adutora (em metros), desprezando perdas localizadas.
    2. Indicar a vazão de distribuição em operação q (em \mathrm{L/s\cdot m}).
    3. Apresentar um croqui do sistema.
Observação sobre material (peguei da tabela dada): o material é “aço soldado, em uso”, cujo coeficiente de Hazen–Williams é C = 90. Vou usar a fórmula de Hazen–Williams apropriada ao SI.

Passo 2

Calcular a vazão de distribuição uniforme q e as vazões nos nós.
  • Comprimento total da adutora: L_{\text{tot}} = L_1 + L_2 = 1500 + 900 = 2400\\ \mathrm{m}.
  • A vazão total distribuída ao longo do comprimento é Q_{\text{tot}}, logo a vazão por unidade de comprimento é q = \frac{Q_{\text{tot}}}{L_{\text{tot}}} = \frac{0,025\\ \mathrm{m^3/s}}{2400\\ \mathrm{m}} = 1,0416667\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/(s\cdot m)}.Convertendo para \mathrm{L/s\cdot m} (multiplica por 1000): q = 0,010416667\\ \mathrm{L/(s\cdot m)}.(Vou apresentar q arredondado na resposta final com quatro casas decimais, como solicitado.)
  • Vazão na entrada do trecho 1 (montante) Q(0)=Q_{\text{tot}}=0,025\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Vazão na entrada do trecho 2 (no final do trecho 1), chamada Q_1: Q_1 = Q_{\text{tot}} - q L_1 = 0,025 - \left(1,0416667\times10^{-5}\right)\cdot1500.Calcular: q L_1 = 0,025\cdot\frac{1500}{2400} = 0,025\cdot0,625 = 0,015625\\ \mathrm{m^3/s},então Q_1 = 0,025 - 0,015625 = 0,009375\\ \mathrm{m^3/s}.Verificação: retirando qL_2=0,009375\\ \mathrm{m^3/s} do trecho 2 chega-se a zero na jusante, conforme enunciado.

Passo 3

Escolha da fórmula e explicação do método (aula rápida sobre Hazen–Williams).
  • Vou usar a fórmula de Hazen–Williams no sistema SI, que relaciona perda de carga em um trecho com vazão quando o coeficiente C e o diâmetro D são constantes: h_f = \frac{10,67\,L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}},onde:
    • h_f é a perda de carga (m);
    • L é comprimento do trecho (m);
    • Q é a vazão pelo trecho (m^3/s) (no caso usual constante ao longo do trecho);
    • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional);
    • D é diâmetro interno (m).
  • Interpretação intuitiva: perda de carga cresce aproximadamente como Q^{1{,}852} e decresce fortemente com o aumento do diâmetro ( D^{4{,}87}). O número 10{,}67 é a constante de unidade para a forma usada em SI.
  • No nosso problema a vazão não é constante em cada trecho: ela varia linearmente ao longo do comprimento devido à distribuição uniforme. Por isso não podemos aplicar a fórmula direta com L e uma única Q. Em vez disso, vamos integrar a contribuição infinitesimal de perda de carga ao longo do comprimento.

Passo 4

Montar a integral da perda de carga para um trecho com vazão que varia linearmente.
  • Em um elemento infinitesimal de comprimento dx onde a vazão local é Q(x), a contribuição elementar de perda de carga é dh = \frac{10,67}{C^{1{,}852}D^{4{,}87}}\,Q(x)^{1{,}852}\,dx.Assim a perda de carga total no trecho é h = \frac{10,67}{C^{1{,}852}D^{4{,}87}}\int_{x=0}^{L} Q(x)^{1{,}852}\,dx.
  • Como q é a vazão retirada por unidade de comprimento, se medirmos x a partir da montante do trecho, a vazão varia linearmente: Q(x) = Q_{\text{in}} - q x,com Q_{\text{in}} sendo a vazão na entrada do trecho.
  • A integral é do tipo \int (Q_{\text{in}} - q x)^{1{,}852}\,dx. Usando a primitiva: \int (a - b x)^n dx = -\frac{(a - b x)^{n+1}}{b(n+1)} + \text{const},para n\neq -1. Aqui n = 1{,}852, então n+1 = 2{,}852.
  • Aplicando os limites x=0 a x=L resulta: \int_{0}^{L} (Q_{\text{in}} - q x)^{1{,}852}\,dx = \frac{Q_{\text{in}}^{2{,}852} - Q_{\text{out}}^{2{,}852}}{q\cdot 2{,}852},onde Q_{\text{out}} = Q_{\text{in}} - qL é a vazão na saída do trecho.
  • Portanto a perda de carga no trecho com entrada Q_{\text{in}}, saída Q_{\text{out}}, comprimento L, diâmetro D e coeficiente C é h = \frac{10,67}{C^{1{,}852}D^{4{,}87}}\cdot\frac{Q_{\text{in}}^{2{,}852} - Q_{\text{out}}^{2{,}852}}{q\cdot 2{,}852}.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao trecho 1 (diâmetro D_1, entrada Q(0)=0,025, saída Q_1=0,009375) e ao trecho 2 (diâmetro D_2, entrada Q_1, saída 0).
Primeiro calcular potências e fatores constantes usados:
  • Coeficiente C = 90 (peguei da tabela: “Aço soldado, em uso”).
  • Calcular C^{1{,}852}: C^{1{,}852} = 90^{1{,}852} \approx 4162{,}6.
  • Calcular D^{4{,}87} para cada diâmetro:
    • Para D_1 = 0,150\\ \mathrm{m}: D_1^{4{,}87} \approx 9{,}69\times 10^{-5}.
    • Para D_2 = 0,100\\ \mathrm{m}: D_2^{4{,}87} \approx 1{,}341\times 10^{-5}.
  • Calcular os denominadores C^{1{,}852}D^{4{,}87}: C^{1{,}852}D_1^{4{,}87} \approx 4162{,}6 \times 9{,}69\times10^{-5} \approx 0{,}4036,
C^{1{,}852}D_2^{4{,}87} \approx 4162{,}6 \times 1{,}341\times10^{-5} \approx 0{,}05585.
  • Assim os coeficientes multiplicativos k=\dfrac{10{,}67}{C^{1{,}852}D^{4{,}87}} são: k_1 = \frac{10{,}67}{0{,}4036} \approx 26{,}45, \qquad k_2 = \frac{10{,}67}{0{,}05585} \approx 191{,}10.

Passo 6

Calcular as potências Q^{2{,}852} necessárias e as integrais.
  • Exponentes: 2{,}852 = 1{,}852 + 1.
  • Calcular Q_{\text{in}}^{2{,}852} para cada entrada:
    • Para o monte (trecho 1 entrada) Q(0)=0,025\\ \mathrm{m^3/s}: Q(0)^{2{,}852} = 0,025^{2{,}852} \approx 2{,}691\times10^{-5}.
    • Para a entrada do trecho 2 Q_1=0,009375\\ \mathrm{m^3/s}: Q_1^{2{,}852} = 0,009375^{2{,}852} \approx 1{,}642\times10^{-6}.
  • Já temos Q_{\text{out},2}=0, portanto 0^{2{,}852}=0.
  • O denominador comum q\cdot 2{,}852: q\cdot 2{,}852 = \left(1{,}0416667\times10^{-5}\right)\cdot 2{,}852 \approx 2{,}971\times10^{-5}.

Passo 7

Calcular h_1 (trecho 1) e h_2 (trecho 2) numericamente, usando a fórmula obtida.
  • Trecho 1: h_1 = k_1\cdot\frac{Q(0)^{2{,}852} - Q_1^{2{,}852}}{q\cdot 2{,}852}.Substituindo números: h_1 \approx 26{,}45 \cdot \frac{2{,}691\times10^{-5} - 1{,}642\times10^{-6}}{2{,}971\times10^{-5}} = 26{,}45 \cdot 0{,}8505 \approx 22{,}49\\ \mathrm{m}.
  • Trecho 2: h_2 = k_2\cdot\frac{Q_1^{2{,}852} - 0}{q\cdot 2{,}852} = 191{,}10 \cdot \frac{1{,}642\times10^{-6}}{2{,}971\times10^{-5}} = 191{,}10 \cdot 0{,}05531 \approx 10{,}57\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Somar as perdas dos dois trechos para obter a perda de carga total na adutora.
  • Perda total: H_{\text{total}} = h_1 + h_2 \approx 22{,}49 + 10{,}57 = 33{,}06\\ \mathrm{m}.
Comentário motivador: deu uma perda de carga significativa (≈33 m) porque a vazão é relativamente alta e o trecho de menor diâmetro contribui forte à perda — isso ilustra por que diâmetro reduzido aumenta muito as perdas.

Passo 9

Croqui (esquemático) do sistema de distribuição — desenho simples e informativo (comprimentos e diâmetros indicados; setas mostram sentido do escoamento; triângulos ao longo indicam distribuição uniforme com taxa q).
Montante (entrada) —> [—1500 m—] —> nó —> [—900 m—] —> jusante (extremidade)
Detalhes em texto alinhado:
  • Entrada: Q_{\text{tot}}=25\\ \mathrm{L/s}
  • Trecho 1: comprimento 1500\\ \mathrm{m}, diâmetro D_1=150\\ \mathrm{mm}, retirada uniforme q ao longo do trecho.
  • Nó entre trechos: vazão que entra no trecho 2 é Q_1=0,009375\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Trecho 2: comprimento 900\\ \mathrm{m}, diâmetro D_2=100\\ \mathrm{mm}, retirada uniforme q ao longo do trecho.
  • Jusante: vazão final =0.
Um esboço em ASCII (simples):
Entrada Q=25 L/s
|
v
±-------------------------------------------------------------+
| Trecho 1: 1500 m, D=150 mm, retirada uniforme q ao longo |
| >>>>>>> (seta sentido do escoamento) |
±-------------------------------------------------------------+
| Vazão no nó (entrada trecho 2): Q1 = 0,009375 m^3/s |
±-------------------------------------------------------------+
| Trecho 2: 900 m, D=100 mm, retirada uniforme q ao longo |
| >>>>>>> |
±-------------------------------------------------------------+
Jusante (vazão = 0)

Resposta

q = 0,0104\\ \mathrm{L\cdot s^{-1}\cdot m^{-1}}
H_{\text{total}} = 33,06\\ \mathrm{m}

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