Questão
- Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora composta por um trecho de 1500 m de comprimento e 150 mm de diâmetro, seguido por outro trecho de 900 m de comprimento e 100 mm de diâmetro. A adutora é de aço soldado, em uso. A vazão total que entra no sistema é
e toda a água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento q (vazão de distribuição unitária) nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade de jusante seja nula. Determine a perda de carga total na adutora
, desprezando as perdas localizada ao longo da adutora. Indique a vazão de distribuição em marcha (
) e apresente também um croqui do sistema de distribuição.
Table 1: Material de apoio\captionsetup{labelformat=empty}
Coeficiente de Hazen-Williams
Aço corrugado (chapa ondulada)
60
Aço com juntas lock-bar, tubos novos
130
Aço com juntas lock-bar, em serviço
110
Aço galvanizado
125
Aço rebitado, tubos novos
130
Aço rebitado, em uso
85
Aço soldado, tubos novos
130
Aço soldado, em uso
90
Aço soldado com revestimento especial
130
Concreto, acabamento comum
130
Concreto, bom acabamento
130
Ferro fundido, após 15-20 anos de uso
120
Ferro fundido, novos
90
Ferro fundido revestido de cimento
100
Ferro fundido, usados
120
Tubos extrudados, PVC
130
150
K
Acessório
Acessório
K
Acessório
K
Cotovelo de
raio curto
0,9
Válvula de gaveta aberta
0,5
Cotovelo de
raio longo
0,6
Válvula de ângulo aberta
5
Cotovelo de
0,4
Válvula de globo aberta
10
Curva
0,4
Válvula de pé com crivo
10
Curva de
0,9
Válvula de retenção
3
Té, passagem direta
2,0
Curva de retorno,
2,2
Válvula de boia
6
Table 1: Material de apoio
\captionsetup{labelformat=empty}
| Coeficiente de Hazen-Williams | |||
| Aço corrugado (chapa ondulada) | 60 | Aço com juntas lock-bar, tubos novos | 130 |
| Aço com juntas lock-bar, em serviço | 110 | Aço galvanizado | 125 |
| Aço rebitado, tubos novos | 130 | Aço rebitado, em uso | 85 |
| Aço soldado, tubos novos | 130 | Aço soldado, em uso | 90 |
| Aço soldado com revestimento especial | 130 | Concreto, acabamento comum | 130 |
| Concreto, bom acabamento | 130 | Ferro fundido, após 15-20 anos de uso | 120 |
| Ferro fundido, novos | 90 | Ferro fundido revestido de cimento | 100 |
| Ferro fundido, usados | 120 | Tubos extrudados, PVC | 130 |
| 150 | |||
| K | Acessório | ||
| Acessório | K | Acessório | K |
| Cotovelo de
|
0,9 | Válvula de gaveta aberta | 0,5 |
| Cotovelo de
|
0,6 | Válvula de ângulo aberta | 5 |
| Cotovelo de
|
0,4 | Válvula de globo aberta | 10 |
| Curva
|
0,4 | Válvula de pé com crivo | 10 |
| Curva de
|
0,9 | Válvula de retenção | 3 |
| Té, passagem direta | 2,0 | Curva de retorno,
|
2,2 |
| Válvula de boia | 6 |
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do sistema (peguei os números do enunciado):
- Trecho 1: comprimento
, diâmetro . - Trecho 2: comprimento
, diâmetro . - Vazão total que entra no sistema:
. - A água é distribuída uniformemente por unidade de comprimento (vazão de distribuição
, mesma nos dois trechos), e a vazão na extremidade jusante é nula.
- Trecho 1: comprimento
- O que se pede:
- Determinar a perda de carga total na adutora (em metros), desprezando perdas localizadas.
- Indicar a vazão de distribuição em operação
(em ). - Apresentar um croqui do sistema.
Observação sobre material (peguei da tabela dada): o material é “aço soldado, em uso”, cujo coeficiente de Hazen–Williams é
. Vou usar a fórmula de Hazen–Williams apropriada ao SI.
Passo 2
Calcular a vazão de distribuição uniforme
e as vazões nos nós.
- Comprimento total da adutora:
- A vazão total distribuída ao longo do comprimento é
, logo a vazão por unidade de comprimento é Convertendo para (multiplica por ): (Vou apresentar arredondado na resposta final com quatro casas decimais, como solicitado.) - Vazão na entrada do trecho 1 (montante)
. - Vazão na entrada do trecho 2 (no final do trecho 1), chamada
: Calcular: então Verificação: retirando do trecho 2 chega-se a zero na jusante, conforme enunciado.
Passo 3
Escolha da fórmula e explicação do método (aula rápida sobre Hazen–Williams).
- Vou usar a fórmula de Hazen–Williams no sistema SI, que relaciona perda de carga em um trecho com vazão quando o coeficiente
e o diâmetro são constantes: onde: -
é a perda de carga (m); -
é comprimento do trecho (m); -
é a vazão pelo trecho (m^3/s) (no caso usual constante ao longo do trecho); -
é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional); -
é diâmetro interno (m).
-
- Interpretação intuitiva: perda de carga cresce aproximadamente como
e decresce fortemente com o aumento do diâmetro ( ). O número é a constante de unidade para a forma usada em SI. - No nosso problema a vazão não é constante em cada trecho: ela varia linearmente ao longo do comprimento devido à distribuição uniforme. Por isso não podemos aplicar a fórmula direta com
e uma única . Em vez disso, vamos integrar a contribuição infinitesimal de perda de carga ao longo do comprimento.
Passo 4
Montar a integral da perda de carga para um trecho com vazão que varia linearmente.
- Em um elemento infinitesimal de comprimento
onde a vazão local é , a contribuição elementar de perda de carga é Assim a perda de carga total no trecho é - Como
é a vazão retirada por unidade de comprimento, se medirmos a partir da montante do trecho, a vazão varia linearmente: com sendo a vazão na entrada do trecho. - A integral é do tipo
. Usando a primitiva: para . Aqui , então . - Aplicando os limites
a resulta: onde é a vazão na saída do trecho. - Portanto a perda de carga no trecho com entrada
, saída , comprimento , diâmetro e coeficiente é
Passo 5
Aplicar a fórmula ao trecho 1 (diâmetro
, entrada
, saída
) e ao trecho 2 (diâmetro
, entrada
, saída
).
Primeiro calcular potências e fatores constantes usados:
- Coeficiente
(peguei da tabela: “Aço soldado, em uso”). - Calcular
: - Calcular
para cada diâmetro: - Para
: - Para
:
- Para
- Calcular os denominadores
:
- Assim os coeficientes multiplicativos
são:
Passo 6
Calcular as potências
necessárias e as integrais.
- Exponentes:
- Calcular
para cada entrada: - Para o monte (trecho 1 entrada)
: - Para a entrada do trecho 2
:
- Para o monte (trecho 1 entrada)
- Já temos
, portanto . - O denominador comum
:
Passo 7
Calcular
(trecho 1) e
(trecho 2) numericamente, usando a fórmula obtida.
- Trecho 1:
Substituindo números: - Trecho 2:
Passo 8
Somar as perdas dos dois trechos para obter a perda de carga total na adutora.
- Perda total:
Comentário motivador: deu uma perda de carga significativa (≈33 m) porque a vazão é relativamente alta e o trecho de menor diâmetro contribui forte à perda — isso ilustra por que diâmetro reduzido aumenta muito as perdas.
Passo 9
Croqui (esquemático) do sistema de distribuição — desenho simples e informativo (comprimentos e diâmetros indicados; setas mostram sentido do escoamento; triângulos ao longo indicam distribuição uniforme com taxa
).
Montante (entrada) —> [—1500 m—] —> nó —> [—900 m—] —> jusante (extremidade)
Detalhes em texto alinhado:
- Entrada:
- Trecho 1: comprimento
, diâmetro , retirada uniforme ao longo do trecho. - Nó entre trechos: vazão que entra no trecho 2 é
. - Trecho 2: comprimento
, diâmetro , retirada uniforme ao longo do trecho. - Jusante: vazão final
.
Um esboço em ASCII (simples):
Entrada Q=25 L/s
|
v
±-------------------------------------------------------------+
| Trecho 1: 1500 m, D=150 mm, retirada uniforme q ao longo |
| >>>>>>> (seta sentido do escoamento) |
±-------------------------------------------------------------+
| Vazão no nó (entrada trecho 2): Q1 = 0,009375 m^3/s |
±-------------------------------------------------------------+
| Trecho 2: 900 m, D=100 mm, retirada uniforme q ao longo |
| >>>>>>> |
±-------------------------------------------------------------+
Jusante (vazão = 0)
|
v
±-------------------------------------------------------------+
| Trecho 1: 1500 m, D=150 mm, retirada uniforme q ao longo |
| >>>>>>> (seta sentido do escoamento) |
±-------------------------------------------------------------+
| Vazão no nó (entrada trecho 2): Q1 = 0,009375 m^3/s |
±-------------------------------------------------------------+
| Trecho 2: 900 m, D=100 mm, retirada uniforme q ao longo |
| >>>>>>> |
±-------------------------------------------------------------+
Jusante (vazão = 0)