Exercício 16 (Retas e planos) Em um espaço provido de um sistema de coordenadas ortonormal, fornecer uma equação cartesiana do plano (P) passando pelo ponto A(1,0,1) e com vetores diretores \vec{u}(1,1,0) e \vec{v}=(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano (P) que passa pelo ponto A(1,0,1) e admite como vetores diretores \vec u=(1,1,0) e \vec v=(0,1,1). O conteúdo aqui é geometria analítica em \mathbb R^3: para determinar um plano precisamos do seu vetor normal \vec n e de um ponto \vec r_0 qualquer nele. Vamos usar que
\vec n = \vec u \times \vec v
e que a equação do plano é
\vec n \cdot (\vec r - \vec r_0) = 0.

Passo 2

Calcular o produto vetorial
\vec n = \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf i\,(1\cdot1 - 0\cdot1) - \mathbf j\,(1\cdot1 - 0\cdot0) + \mathbf k\,(1\cdot1 - 1\cdot0)
\vec n = (1,\,-1,\,1).

Passo 3

Tomamos \vec r = (x,y,z) e \vec r_0 = A=(1,0,1). A equação do plano é
\vec n\cdot(\vec r - \vec r_0)=0 \quad\Longrightarrow\quad (1,-1,1)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,0,1)\bigr)=0.

Passo 4

Fazendo o produto escalar:
1\,(x-1) + (-1)\,(y-0) + 1\,(z-1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 1 - y + z - 1 = 0
x - y + z - 2 = 0.

Resposta

A equação cartesiana do plano (P) é
x - y + z = 2.

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