Exercício 15 (Retas e planos) Considere-se fixado um sistema ortonormal ( O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ) de coordenadas cartesianas. Considerem-se os pontos A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ;-1 ;-2), D(7 ;-1 ; 4).
15.1 Mostrar que os pontos A, B, C não são alinhados.
15.2 Determinar uma representação paramétrica do plano ( A B C ).
15.3 Determinar uma representação paramétrica da reta ( R ) que contém o ponto D e tem direção do vetor \vec{r}=(2,-1,3).
15.4 Determinar as coordenadas do ponto H, interseção da reta (R) com o plano (A B C).
15.5 Considere-se a reta (Q) com representação paramétrica
(Q):\left\{\begin{array}{l}x=-2-4 q \\\ y=q \\\ z=2+3 q\end{array}(q \in \mathbb{R})\right..
Determinar a posição relativa entre a reta (Q) e o plano (A B C).

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em (O;\vec \imath,\vec \jmath,\vec k):
A=(0,4,1),\quad B=(1,3,0),\quad C=(2,-1,-2),\quad D=(7,-1,4),
e pede:
  1. mostrar que A,B,C não são alinhados;
  2. representação paramétrica do plano (ABC);
  3. representação paramétrica da reta R que passa por D com direção \vec r=(2,-1,3);
  4. calcular o ponto H=R\cap(ABC);
  5. estudar a posição relativa da reta Q\colon x=-2-4q,\;y=q,\;z=2+3q em relação ao plano (ABC).
    O conteúdo envolve geometria vetorial em \mathbb R^3: vetores de posição, teste de colinearidade, produto vetorial, equação paramétrica de planos e retas, e interseção reta–plano.

Passo 2

Para ver que A,B,C não são colineares, calculamos os vetores \vec{AB}=B-A=(1,-1,-1) e \vec{AC}=C-A=(2,-5,-3).
Se fossem colineares, existiria \lambda\in\mathbb R tal que \vec{AC}=\lambda\,\vec{AB}.
Comparando componentes teríamos
2=\lambda\cdot1,\quad -5=\lambda\cdot(-1),\quad -3=\lambda\cdot(-1),
isto é, \lambda=2 da primeira equação, \lambda=5 da segunda, \lambda=3 da terceira, o que é contraditório.
Logo \vec{AB} e \vec{AC} não são proporcionais, e A,B,C não são alinhados.

Passo 3

Uma representação paramétrica do plano (ABC) é dado pelo ponto A mais combinações lineares de \vec{AB} e \vec{AC}.
\text{Plano }(ABC)\colon \begin{cases} x = 0 + s\cdot1 + t\cdot2,\\\ y = 4 + s\cdot(-1) + t\cdot(-5),\\\ z = 1 + s\cdot(-1) + t\cdot(-3), \end{cases} \quad (s,t\in\mathbb R).

Passo 4

A reta R que passa por D com direção \vec r=(2,-1,3) tem equação paramétrica
\text{R}\colon \begin{cases} x = 7 + u\cdot2,\\\ y = -1 + u\cdot(-1),\\\ z = 4 + u\cdot3, \end{cases} \quad (u\in\mathbb R).

Passo 5

Primeiro calculamos a normal do plano (ABC) por
\vec n = \vec{AB}\times\vec{AC} = (1,-1,-1)\times(2,-5,-3) = (-2,1,-3).
O ponto H\in R\cap(ABC) satisfaz (H-A)\cdot\vec n=0. Como H=D+u\vec r,
H-A = (7,-1,4)- (0,4,1)+u(2,-1,3) =(7,-5,3)+u(2,-1,3).
Tomando o produto escalar com \vec n:
(7,-5,3)\cdot(-2,1,-3)+u\,(2,-1,3)\cdot(-2,1,-3)=0 \;\Longrightarrow\;-28-14u=0 \;\Longrightarrow\;u=-2.
Substituindo em R:
H = D -2\cdot(2,-1,3) = (7-4,\,-1+2,\,4-6) = (3,1,-2).

Passo 6

A reta Q tem direção \vec v_Q=(-4,1,3). Calculamos
\vec n\cdot\vec v_Q = (-2,1,-3)\cdot(-4,1,3)=8+1-9=0,
logo Q é paralela ao plano (ABC). Para ver se está contida ou é distinta, verificamos um ponto, por exemplo em q=0: P_0=(-2,0,2).
P_0-A =(-2,-4,1),\quad (P_0-A)\cdot\vec n=4-4-3=-3\neq0.
Como esse ponto não pertence ao plano, concluímos que Q é paralela ao plano e não o intersecta.

Resposta

15.1 Os vetores [\vec{AB}) e \vec{AC} não são proporcionais, logo A,B,C não são alinhados.
15.2
\begin{cases} x = 0 + s + 2t,\\\ y = 4 - s - 5t,\\\ z = 1 - s - 3t, \end{cases} \quad(s,t\in\mathbb R).
15.3
\begin{cases} x = 7 + 2u,\\\ y = -1 - u,\\\ z = 4 + 3u, \end{cases} \quad(u\in\mathbb R).
15.4 (H=(3,1,-2)].
15.5 A reta Q é paralela ao plano (ABC) e não o intercepta.

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