Exercício 15 (Retas e planos) Considere-se fixado um sistema ortonormal ( O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ) de coordenadas cartesianas. Considerem-se os pontos A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ;-1 ;-2), D(7 ;-1 ; 4).
15.1 Mostrar que os pontos A, B, C não são alinhados.
15.2 Determinar uma representação paramétrica do plano ( A B C ).
15.3 Determinar uma representação paramétrica da reta ( R ) que contém o ponto D e tem direção do vetor \vec{r}=(2,-1,3).
15.4 Determinar as coordenadas do ponto H, interseção da reta (R) com o plano (A B C).
15.5 Considere-se a reta (Q) com representação paramétrica (Q):\left\{\begin{array}{l}x=-2-4 q \\\ y=q \\\ z=2+3 q\end{array}(q \in \mathbb{R})\right..
Determinar a posição relativa entre a reta (Q) e o plano (A B C).
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos em (O;\vec \imath,\vec \jmath,\vec k):
representação paramétrica da reta R que passa por D com direção \vec r=(2,-1,3);
calcular o ponto H=R\cap(ABC);
estudar a posição relativa da reta Q\colon x=-2-4q,\;y=q,\;z=2+3q em relação ao plano (ABC).
O conteúdo envolve geometria vetorial em \mathbb R^3: vetores de posição, teste de colinearidade, produto vetorial, equação paramétrica de planos e retas, e interseção reta–plano.
Passo 2
Para ver que A,B,C não são colineares, calculamos os vetores \vec{AB}=B-A=(1,-1,-1) e \vec{AC}=C-A=(2,-5,-3).
Se fossem colineares, existiria \lambda\in\mathbb R tal que \vec{AC}=\lambda\,\vec{AB}.
Comparando componentes teríamos
isto é, \lambda=2 da primeira equação, \lambda=5 da segunda, \lambda=3 da terceira, o que é contraditório.
Logo \vec{AB} e \vec{AC} não são proporcionais, e A,B,C não são alinhados.
Passo 3
Uma representação paramétrica do plano (ABC) é dado pelo ponto A mais combinações lineares de \vec{AB} e \vec{AC}.
\text{Plano }(ABC)\colon \begin{cases} x = 0 + s\cdot1 + t\cdot2,\\\ y = 4 + s\cdot(-1) + t\cdot(-5),\\\ z = 1 + s\cdot(-1) + t\cdot(-3), \end{cases} \quad (s,t\in\mathbb R).
Passo 4
A reta R que passa por D com direção \vec r=(2,-1,3) tem equação paramétrica
\text{R}\colon \begin{cases} x = 7 + u\cdot2,\\\ y = -1 + u\cdot(-1),\\\ z = 4 + u\cdot3, \end{cases} \quad (u\in\mathbb R).
Passo 5
Primeiro calculamos a normal do plano (ABC) por
\vec n = \vec{AB}\times\vec{AC} = (1,-1,-1)\times(2,-5,-3) = (-2,1,-3).
O ponto H\in R\cap(ABC) satisfaz (H-A)\cdot\vec n=0. Como H=D+u\vec r,