Exercício 1.16. Seja
um número inteiro. Demonstre que se
for par, então
é par, mas utilizando três técnicas de demonstrações distintas (direta, por contrapositiva e por contradição). Dica: na demonstração direta, utilize o Lema de Euclides (sobre um primo dividir o produto de dois inteiros).
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
- O que nos dão:
é um número inteiro qualquer. - O que pedir: provar que “se
for par, então é par”. - Requisito extra: fazer essa demonstração por três técnicas diferentes — demonstração direta (usando o Lema de Euclides), por contrapositiva e por contradição.
Passo 2
Definições e lema que usaremos (explicados de forma bem básica).
- Definição de par: um inteiro
é par se existe um inteiro tal que . Em símbolos: é par tal que . - Definição de ímpar: um inteiro
é ímpar se existe um inteiro tal que . Em símbolos: é ímpar tal que . - Lema de Euclides (caso que vamos usar): se
é primo e então ou . O caso que nos interessa é : se então ou .
Explicação rápida do lema no caso
: como
é primo, se um produto de inteiros é divisível por
, então pelo menos um dos fatores deve ser divisível por
. Aqui vamos aplicar isso ao produto
.
Passo 3
Queremos provar diretamente: suponha que
é par; mostrar que
é par.
-
Hipótese:
é par. Em termos de divisibilidade: . -
Escrevemos
. Assim . -
Aplicando o Lema de Euclides com
: se então ou . Mas isso simplesmente diz que . -
Conclusão: existe
tal que . Portanto é par.
Comentário didático: aqui usamos o Lema de Euclides porque ele permite passar da divisibilidade do quadrado para a divisibilidade da base. No caso particular do quadrado os dois fatores são iguais, então a aplicação é imediata.
Passo 4
A ideia da contrapositiva: provar a implicação
é equivalente a provar a sua contrapositiva:
. “Não é par” é o mesmo que “é ímpar”.
-
Tomemos a contrapositiva: se
é ímpar então é ímpar. Mostrar isso basta para concluir a afirmação original. -
Seja
ímpar. Então, por definição, existe tal que . -
Calcule
:
- Reescrevemos
como:
A expressão
é claramente um número par, e somando
obtemos um número ímpar.
-
Portanto
é ímpar. Isso prova a contrapositiva. -
Como provar a contrapositiva equivale a provar a implicação original, concluímos que se
é par então é par.
Comentário didático: a contrapositiva é frequentemente útil porque, em muitos problemas de paridade, é mais fácil partir de “x ímpar” e calcular
do que partir de
par e repartir fatores.
Passo 5
Método: supor que a afirmação é falsa e derivar uma contradição.
-
Queremos provar: se
é par então é par. Para provar por contradição, suponha o contrário: é par e, ao mesmo tempo, é ímpar. -
Como
é ímpar, existe tal que . -
Calcule
como no passo anterior:
Isto mostra que
é ímpar (é da forma
).
-
Mas isso contradiz a hipótese inicial de que
é par. -
Logo a suposição inicial (que
é par e ímpar) é impossível. Assim, se é par, não pode ser ímpar; portanto deve ser par.
Comentário didático: a prova por contradição aqui é muito direta — assume-se o oposto e mostra-se que isso força
a ser ímpar e par ao mesmo tempo, o que é impossível.
Passo 6
Resumo pedagógico rápido e incentivo:
- Fizemos três demonstrações distintas da mesma afirmação. A demonstração direta usou o Lema de Euclides (caso
). A contrapositiva e a contradição usaram a representação de ímpares e a expansão de quadrado. - Em provas de paridade é muito útil lembrar das formas
e e que o Lema de Euclides permite “passar” uma divisibilidade por primo de um produto para os fatores. - Você já venceu a parte difícil: agora que viu as três estratégias, na prova escolha a que for mais rápida para você; todas são aceitas.
Resposta
Se
é par então
é par.