Exercício 1.16. Seja x um número inteiro. Demonstre que se x^{2} for par, então x é par, mas utilizando três técnicas de demonstrações distintas (direta, por contrapositiva e por contradição). Dica: na demonstração direta, utilize o Lema de Euclides (sobre um primo dividir o produto de dois inteiros).

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O que nos dão: x é um número inteiro qualquer.
  • O que pedir: provar que “se x^{2} for par, então x é par”.
  • Requisito extra: fazer essa demonstração por três técnicas diferentes — demonstração direta (usando o Lema de Euclides), por contrapositiva e por contradição.

Passo 2

Definições e lema que usaremos (explicados de forma bem básica).
  • Definição de par: um inteiro n é par se existe um inteiro k tal que n=2k. Em símbolos: n é par \iff \exists k\in\mathbb{Z} tal que n=2k.
  • Definição de ímpar: um inteiro n é ímpar se existe um inteiro k tal que n=2k+1. Em símbolos: n é ímpar \iff \exists k\in\mathbb{Z} tal que n=2k+1.
  • Lema de Euclides (caso que vamos usar): se p é primo e p\mid ab então p\mid a ou p\mid b. O caso que nos interessa é p=2: se 2\mid ab então 2\mid a ou 2\mid b.
Explicação rápida do lema no caso p=2: como 2 é primo, se um produto de inteiros é divisível por 2, então pelo menos um dos fatores deve ser divisível por 2. Aqui vamos aplicar isso ao produto x\cdot x = x^{2}.

Passo 3

Queremos provar diretamente: suponha que x^{2} é par; mostrar que x é par.
  1. Hipótese: x^{2} é par. Em termos de divisibilidade: 2\mid x^{2}.
  2. Escrevemos x^{2}=x\cdot x. Assim 2\mid (x\cdot x).
  3. Aplicando o Lema de Euclides com p=2: se 2\mid (x\cdot x) então 2\mid x ou 2\mid x. Mas isso simplesmente diz que 2\mid x.
  4. Conclusão: existe k\in\mathbb{Z} tal que x=2k. Portanto x é par.
Comentário didático: aqui usamos o Lema de Euclides porque ele permite passar da divisibilidade do quadrado para a divisibilidade da base. No caso particular do quadrado os dois fatores são iguais, então a aplicação é imediata.

Passo 4

A ideia da contrapositiva: provar a implicação \text{(se }x^{2}\text{ é par)}\Rightarrow\text{(}x\text{ é par)}éé é equivalente a provar a sua contrapositiva: \text{(}x\text{ não é par)}\Rightarrow\text{(}x^{2}\text{ não é par)}ãéãé. “Não é par” é o mesmo que “é ímpar”.
  1. Tomemos a contrapositiva: se x é ímpar então x^{2} é ímpar. Mostrar isso basta para concluir a afirmação original.
  2. Seja x ímpar. Então, por definição, existe k\in\mathbb{Z} tal que x=2k+1.
  3. Calcule x^{2}:
x^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1.
  1. Reescrevemos 4k^{2}+4k+1 como:
4k^{2}+4k+1=2(2k^{2}+2k)+1.
A expressão 2(2k^{2}+2k) é claramente um número par, e somando 1 obtemos um número ímpar.
  1. Portanto x^{2} é ímpar. Isso prova a contrapositiva.
  2. Como provar a contrapositiva equivale a provar a implicação original, concluímos que se x^{2} é par então x é par.
Comentário didático: a contrapositiva é frequentemente útil porque, em muitos problemas de paridade, é mais fácil partir de “x ímpar” e calcular x^{2} do que partir de x^{2} par e repartir fatores.

Passo 5

Método: supor que a afirmação é falsa e derivar uma contradição.
  1. Queremos provar: se x^{2} é par então x é par. Para provar por contradição, suponha o contrário: x^{2} é par e, ao mesmo tempo, x é ímpar.
  2. Como x é ímpar, existe k\in\mathbb{Z} tal que x=2k+1.
  3. Calcule x^{2} como no passo anterior:
x^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2(2k^{2}+2k)+1.
Isto mostra que x^{2} é ímpar (é da forma 2(\text{inteiro})+1).
  1. Mas isso contradiz a hipótese inicial de que x^{2} é par.
  2. Logo a suposição inicial (que x^{2} é par e x ímpar) é impossível. Assim, se x^{2} é par, x não pode ser ímpar; portanto x deve ser par.
Comentário didático: a prova por contradição aqui é muito direta — assume-se o oposto e mostra-se que isso força x^{2} a ser ímpar e par ao mesmo tempo, o que é impossível.

Passo 6

Resumo pedagógico rápido e incentivo:
  • Fizemos três demonstrações distintas da mesma afirmação. A demonstração direta usou o Lema de Euclides (caso p=2). A contrapositiva e a contradição usaram a representação de ímpares x=2k+1 e a expansão de quadrado.
  • Em provas de paridade é muito útil lembrar das formas 2k e 2k+1 e que o Lema de Euclides permite “passar” uma divisibilidade por primo de um produto para os fatores.
  • Você já venceu a parte difícil: agora que viu as três estratégias, na prova escolha a que for mais rápida para você; todas são aceitas.

Resposta

Se x^{2} é par então x é par.

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