Negue as seguintes proposições (em linguagem natural):
“Para todo número x, existe um número y maior que ele.”

Passo 1

O enunciado dá a proposição em linguagem natural e pede que a neguemos. As informações e o pedido são:
  • Enunciado: “Para todo número x, existe um número y maior que ele.”
  • Pedido: obter a negação dessa proposição (escrever a proposição que é lógica e semanticamente o oposto dela).

Passo 2

Formalizar a proposição com símbolos lógicos ajuda a trabalhar a negação com regras claras. Vamos representar a proposição original por
\forall x\, \exists y\; (y > x).
Explicando o que isso significa:
  • \forall x quer dizer "para todo número x" — ou seja, para cada escolha possível de x.
  • \exists y quer dizer "existe um número y" — ou seja, que pelo menos um y satisfaz a condição.
  • (y>x) é a condição "o número y é maior que x".

Passo 3

Apresentar a regra de negação de quantificadores (com explicação intuitiva):
  • A negação de \forall x\, P(x) é equivalente a \exists x\, \neg P(x). Intuição: "não é verdade que tudo satisfaz P" significa "existe algo que não satisfaz P".
  • A negação de \exists y\, Q(y) é equivalente a \forall y\, \neg Q(y). Intuição: "não existe um y com Q" significa “para todo y, Q é falso”.
Essas são regras padrão de lógica (negação troca \forall por \exists e vice-versa, e nega o predicado).

Passo 4

Aplicar as regras passo a passo na fórmula:
\neg\bigl(\forall x\, \exists y\; (y>x)\bigr)
Primeiro aplicamos a negação sobre o quantificador externo:
\neg\bigl(\forall x\, \exists y\; (y>x)\bigr) \equiv \exists x\, \neg\bigl(\exists y\; (y>x)\bigr).
Agora aplicamos a negação sobre o quantificador interno:
\exists x\, \neg\bigl(\exists y\; (y>x)\bigr) \equiv \exists x\, \forall y\, \neg\bigl(y>x\bigr).
Por fim, traduzimos a negação do predicado: \neg(y>x) é equivalente a y \le x. Assim obtemos a forma final formal:
\exists x\, \forall y\; (y \le x).

Passo 5

Traduzindo a forma formal para linguagem natural bem clara e direta:
  • “Existe um número x tal que, para todo número y, tem-se y \le x.”
    Interpretação intuitiva: a afirmação original dizia que para qualquer número escolhido sempre é possível encontrar um número maior; a negação diz que existe algum número que não admite números maiores — isto é, um número que é maior ou igual a todos os outros (um máximo).

Passo 6

Observação prática e ânimo rápido: para o conjunto dos números reais essa negação é falsa (não existe maior real), então a proposição original é verdadeira nesse contexto. Mas a resposta pedida é a negação formal e em linguagem natural que acabamos de obter — e você agora sabe como aplicar as regras de negação de quantificadores passo a passo. Força nos estudos — já foi um bom passo entender isso!

Resposta

Existe um número x tal que, para todo número y, y \le x.

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