Exercício 16: Sejam A, B e C eventos independentes em um espaço de probabilidade. Considere as seguintes questões:
  1. Mostre que A \cup B e C são independentes.
  2. Verifique se \left(A B^{c} \cup A^{c} B\right) e C são independentes.
  3. Determine sob quais condições os eventos A C e B C são independentes.

Passo 1

Vou reescrever com calma o que o enunciado pede e o que já foi dado.
Dados:
  • São dados três eventos A, B e C e o enunciado diz que eles são independentes. Vou entender isso como independência completa (mutual): isto é, valem as igualdades
P(A\cap B)=P(A)P(B),\quad P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)},\quad P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)}
e
P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}.
O que o exercício pede (três itens):
  1. Mostrar que A\cup B e C são independentes.
  2. Verificar se \left(A\cap B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\cap B\right) e C são independentes. (Observação: este evento é o “ou exclusivo” entre A e B.)
  3. Determinar sob quais condições os eventos A\cap C e B\cap C são independentes.
Nada será resolvido ainda neste passo — só organizei o que sabemos e o que precisamos mostrar.

Passo 2

Lembrete das ferramentas que vamos usar (explicadas de forma prática):
  • Definição de independência entre dois eventos E e F: eles são independentes se, e somente se,
P(E\cap F)=P(E)\,P(F).
Vou usar sempre esta igualdade como verificação.
  • Fórmula da união (inclusão-exclusão) para dois eventos E e F:
P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E\cap F).
Isto serve para calcular P(A\cup B) quando conhecemos P(A), P(B) e P(A\cap B).
  • Para interseções com complementos: P(E\cap F^{c}) = P(E) - P(E\cap F). É só separar E em E\cap F e E\cap F^{c}.
Essas fórmulas são básicas e serão aplicadas passo a passo nos itens.

Passo 3

Queremos mostrar:
P\bigl((A\cup B)\cap C\bigr)=P(A\cup B)\,P\text{(C)}.
Calcule primeiro o lado esquerdo usando que interseção distribui sobre união:
(A\cup B)\cap C = (A\cap C)\cup (B\cap C).
Agora aplicamos inclusão-exclusão para essas duas partes:
P\bigl((A\cap C)\cup (B\cap C)\bigr)=P(A\cap C)+P(B\cap C)-P\bigl((A\cap C)\cap(B\cap C)\bigr).
A interseção dentro do último termo é
(A\cap C)\cap(B\cap C)=A\cap B\cap C.
Agora use a hipótese de independência mútua para substituir probabilidades:
P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)},\quad P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)},\quad P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}.
Substituindo:
P\bigl((A\cup B)\cap C\bigr)=P\text{(C)}\bigl(P(A)+P(B)-P(A)P(B)\bigr).
Mas observe a expressão entre parênteses: é exatamente a fórmula de P(A\cup B) quando A e B são independentes, pois
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B).
Portanto
P\bigl((A\cup B)\cap C\bigr)=P\text{(C)}\,P(A\cup B)=P(A\cup B)\,P\text{(C)}.
Isto é justamente a condição de independência entre A\cup B e C. Logo, são independentes.

Passo 4

Intuitivamente: se A, B e C são independentes em toda combinação, então a presença de C não “informa” sobre A nem sobre B; por isso não informa sobre a ocorrência da união A\cup B. A demonstração formal acima mostra isso por contas.

Passo 5

Denotemos D=\left(A\cap B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\cap B\right). Note que os dois conjuntos que formam a união são disjuntos:
(A\cap B^{c})\cap (A^{c}\cap B)=\varnothing.
Queremos ver se D e C são independentes, isto é, se vale
P(D\cap C)=P(D)\,P\text{(C)}.
Calcule o lado esquerdo. Como as partes são disjuntas,
D\cap C = (A\cap B^{c}\cap C)\;\cup\;(A^{c}\cap B\cap C),
e as duas parcelas à direita também são disjuntas, então
P(D\cap C)=P(A\cap B^{c}\cap C)+P(A^{c}\cap B\cap C).
Agora expresse cada termo pela diferença de interseções mais simples:
P(A\cap B^{c}\cap C)=P(A\cap C)-P(A\cap B\cap C),
P(A^{c}\cap B\cap C)=P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C).
Somando:
P(D\cap C)=P(A\cap C)+P(B\cap C)-2\,P(A\cap B\cap C).
Use as igualdades dadas pela independência mútua:
P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)},\quad P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)},\quad P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}.
Substituindo:
P(D\cap C)=P\text{(C)}\bigl(P(A)+P(B)-2P(A)P(B)\bigr).
Agora calcule P(D) (sem C). Como D é união disjunta de A\cap B^{c} e A^{c}\cap B,
P(D)=P(A\cap B^{c})+P(A^{c}\cap B)=\bigl(P(A)-P(A\cap B)\bigr)+\bigl(P(B)-P(A\cap B)\bigr).
Usando P(A\cap B)=P(A)P(B) (independência de A e B):
P(D)=P(A)+P(B)-2P(A)P(B).
Portanto
P(D\cap C)=P\text{(C)}\,P(D)=P(D)\,P\text{(C)}.
Isso mostra que D e C são independentes.

Passo 6

O evento D é o “ou exclusivo” entre A e B. A independência mútua das três variáveis força também a independência entre esse evento construído a partir de A e B e o evento C. As contas acima mostram a razão: todas as interseções necessárias se decompõem e aparecem fatores P\text{(C)} que podem ser colocados em evidência.

Passo 7

Queremos saber quando os eventos A\cap C e B\cap C são independentes, ou seja, quando
P\bigl((A\cap C)\cap(B\cap C)\bigr)=P(A\cap C)\,P(B\cap C).
O lado esquerdo simplifica:
(A\cap C)\cap(B\cap C)=A\cap B\cap C,
logo a condição vira
P(A\cap B\cap C)=P(A\cap C)\,P(B\cap C).
Usando a independência mútua para escrever cada termo em função de P(A), P(B) e P\text{(C)}:
P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)},
P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)},\qquad P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)}.
Substituindo no lado direito:
P(A\cap C)\,P(B\cap C)=\bigl(P(A)P\text{(C)}\bigr)\bigl(P(B)P\text{(C)}\bigr)=P(A)P(B)P\text{(C)}^{2}.
Logo a igualdade necessária é
P(A)P(B)P\text{(C)}=P(A)P(B)P\text{(C)}^{2}.
Colocando tudo do mesmo lado:
P(A)P(B)P\text{(C)}\bigl(1-P\text{(C)}\bigr)=0.
Portanto, a igualdade (isto é, a independência entre A\cap C e B\cap C) ocorre exatamente quando pelo menos um dos fatores é zero. Isso dá as condições:
  • P(A)=0, ou
  • P(B)=0, ou
  • P\text{(C)}=0, ou
  • 1-P\text{(C)}=0, isto é, P\text{(C)}=1.
Em palavras: ou A ou B tem probabilidade zero (casos degenerados), ou C tem probabilidade 0 (evento impossível) ou C tem probabilidade 1 (evento certo). Fora desses casos, em geral A\cap C e B\cap C não são independentes — a razão é que a presença da mesma C em ambas introduz uma correlação salvo em situações triviais.

Resposta

  1. Sim: A\cup B e C são independentes.
  2. Sim: \left(A\cap B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\cap B\right) e C são independentes.
  3. A\cap C e B\cap C são independentes se, e somente se, P(A)=0 ou P(B)=0 ou P\text{(C)}=0 ou P\text{(C)}=1.

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