Exercício 16: Sejam
e
eventos independentes em um espaço de probabilidade. Considere as seguintes questões:
- Mostre que
e
são independentes.
- Verifique se
e
são independentes.
- Determine sob quais condições os eventos
e
são independentes.
Passo 1
Vou reescrever com calma o que o enunciado pede e o que já foi dado.
Dados:
- São dados três eventos
, e e o enunciado diz que eles são independentes. Vou entender isso como independência completa (mutual): isto é, valem as igualdades
e
O que o exercício pede (três itens):
- Mostrar que
e são independentes. - Verificar se
e são independentes. (Observação: este evento é o “ou exclusivo” entre e .) - Determinar sob quais condições os eventos
e são independentes.
Nada será resolvido ainda neste passo — só organizei o que sabemos e o que precisamos mostrar.
Passo 2
Lembrete das ferramentas que vamos usar (explicadas de forma prática):
- Definição de independência entre dois eventos
e : eles são independentes se, e somente se,
Vou usar sempre esta igualdade como verificação.
- Fórmula da união (inclusão-exclusão) para dois eventos
e :
Isto serve para calcular
quando conhecemos
,
e
.
- Para interseções com complementos:
. É só separar em e .
Essas fórmulas são básicas e serão aplicadas passo a passo nos itens.
Passo 3
Queremos mostrar:
Calcule primeiro o lado esquerdo usando que interseção distribui sobre união:
Agora aplicamos inclusão-exclusão para essas duas partes:
A interseção dentro do último termo é
Agora use a hipótese de independência mútua para substituir probabilidades:
Substituindo:
Mas observe a expressão entre parênteses: é exatamente a fórmula de
quando
e
são independentes, pois
Portanto
Isto é justamente a condição de independência entre
e
. Logo, são independentes.
Passo 4
Intuitivamente: se
,
e
são independentes em toda combinação, então a presença de
não “informa” sobre
nem sobre
; por isso não informa sobre a ocorrência da união
. A demonstração formal acima mostra isso por contas.
Passo 5
Denotemos
. Note que os dois conjuntos que formam a união são disjuntos:
Queremos ver se
e
são independentes, isto é, se vale
Calcule o lado esquerdo. Como as partes são disjuntas,
e as duas parcelas à direita também são disjuntas, então
Agora expresse cada termo pela diferença de interseções mais simples:
Somando:
Use as igualdades dadas pela independência mútua:
Substituindo:
Agora calcule
(sem
). Como
é união disjunta de
e
,
Usando
(independência de
e
):
Portanto
Isso mostra que
e
são independentes.
Passo 6
O evento
é o “ou exclusivo” entre
e
. A independência mútua das três variáveis força também a independência entre esse evento construído a partir de
e
e o evento
. As contas acima mostram a razão: todas as interseções necessárias se decompõem e aparecem fatores
que podem ser colocados em evidência.
Passo 7
Queremos saber quando os eventos
e
são independentes, ou seja, quando
O lado esquerdo simplifica:
logo a condição vira
Usando a independência mútua para escrever cada termo em função de
,
e
:
Substituindo no lado direito:
Logo a igualdade necessária é
Colocando tudo do mesmo lado:
Portanto, a igualdade (isto é, a independência entre
e
) ocorre exatamente quando pelo menos um dos fatores é zero. Isso dá as condições:
-
, ou -
, ou -
, ou -
, isto é, .
Em palavras: ou
ou
tem probabilidade zero (casos degenerados), ou
tem probabilidade
(evento impossível) ou
tem probabilidade
(evento certo). Fora desses casos, em geral
e
não são independentes — a razão é que a presença da mesma
em ambas introduz uma correlação salvo em situações triviais.
Resposta
- Sim:
e são independentes. - Sim:
e são independentes. -
e são independentes se, e somente se, ou ou ou .