Exercício 10: Em uma rifa com 100 bilhetes, numerados de 1 a 100 , sorteiam-se dois bilhetes ao acaso, sem reposição. O primeiro bilhete sorteado premia o seu comprador com uma batedeira, e o segundo prêmio é um liquidificador. Uma pessoa compra quatro bilhetes.
  1. Calcule a probabilidade de que essa pessoa tenha ganho ambos os prêmios, dado que ganhou o liquidificador.
  2. Calcule a probabilidade de que essa pessoa tenha ganho ambos os prêmios, dado que ganhou algum prêmio na rifa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas probabilidades.
Dados do problema:
\text{Há }100\text{ bilhetes, numerados de }1\text{ a }100.á
\text{Sorteiam-se dois bilhetes ao acaso, sem reposição.}çã
\text{O primeiro bilhete sorteado é o prêmio A (batedeira).}éê
\text{O segundo bilhete sorteado é o prêmio B (liquidificador).}éê
\text{Uma pessoa comprou }4\text{ bilhetes (específicos).}í
Perguntas:
  1. Calcular a probabilidade de que a pessoa tenha ganho ambos os prêmios, dado que ela ganhou o liquidificador.
  2. Calcular a probabilidade de que a pessoa tenha ganho ambos os prêmios, dado que ela ganhou algum prêmio na rifa.

Passo 2

Definimos eventos e a ferramenta básica que vamos usar.
Definições de eventos:
A = \{\text{a pessoa ganhou ambos os prêmios}\}.ê
B = \{\text{a pessoa ganhou o liquidificador (prêmio B)}\}.ê
C = \{\text{a pessoa ganhou pelo menos um prêmio (A ou B)}\}.ê
Fórmula de probabilidade condicional (ferramenta chave):
P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)},
onde P(X\mid Y) é a probabilidade de X acontecer sabendo que Y ocorreu, P(X\cap Y) é a probabilidade de ambos ocorrerem, e P(Y) é a probabilidade de Y.
Vou aplicar essa fórmula para responder as duas perguntas: primeiro com X=A e Y=B, depois com X=A e Y=C.

Passo 3

Vamos calcular probabilidades básicas necessárias, começando por P(A) — a probabilidade de a pessoa ganhar ambos os prêmios sem condições.
Pensamento sequencial (ordem importa porque os prêmios são diferentes):
  • Probabilidade do primeiro prêmio (batedeira) ser de alguém que comprou um dos 4 bilhetes é \dfrac{4}{100}.
  • Se isso ocorreu, restam 99 bilhetes e restam 3 bilhetes da pessoa entre esses 99; então a probabilidade do segundo prêmio (liquidificador) também ser dela é \dfrac{3}{99}.
Multiplicando (regra do produto para eventos sequenciais sem reposição):
P(A)=\frac{4}{100}\cdot\frac{3}{99}.
Calculando:
\frac{4\cdot 3}{100\cdot 99}=\frac{12}{9900}=\frac{1}{825}.
Portanto,
P(A)=\frac{1}{825}.

Passo 4

Agora calculamos P(B), a probabilidade de a pessoa ganhar o liquidificador (ou seja, o segundo prêmio ser um dos seus 4 bilhetes), sem condição sobre o primeiro prêmio.
Como cada bilhete tem igualmente chance de ser sorteado em qualquer posição, a probabilidade de o segundo sorteado ser um dos 4 bilhetes é simplesmente
P(B)=\frac{4}{100}.
Uma forma alternativa (sequencial) que dá o mesmo resultado: a posição do sorteio é simétrica; ou calcular diretamente \dfrac{4}{100}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula condicional para a pergunta 1:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Note que A\cap B é exatamente o evento A (se a pessoa ganhou ambos, certamente ganhou o segundo), logo P(A\cap B)=P(A). Assim:
P(A\mid B)=\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{\dfrac{1}{825}}{\dfrac{4}{100}}.
Calculando:
P(A\mid B)=\frac{1}{825}\cdot\frac{100}{4}=\frac{100}{3300}=\frac{1}{33}.
Um raciocínio mais direto e intuitivo (sem divisão de probabilidades): se você já sabe que o segundo bilhete é seu (um dos 4), então restam 99 bilhetes para o primeiro sorteio e você ainda possui 3 bilhetes entre esses 99. Logo a probabilidade de também ganhar o primeiro é \dfrac{3}{99}=\dfrac{1}{33}. As duas abordagens coincidem.

Passo 6

Agora vamos à pergunta 2: P(A\mid C), probabilidade de ganhar ambos dado que ganhou ao menos um prêmio.
Usaremos
P(A\mid C)=\frac{P(A\cap C)}{P\text{(C)}}.
Mas A\cap C = A (se ganhou ambos, entrou no caso “pelo menos um”), então
P(A\mid C)=\frac{P(A)}{P\text{(C)}}.
Já temos P(A)=\dfrac{1}{825}. Falta P\text{(C)}, a probabilidade de ganhar pelo menos um dos prêmios.
É mais fácil calcular o complementar: nenhuma vitória (nenhum prêmio). Probabilidade de não ganhar o primeiro prêmio é \dfrac{96}{100} (porque há 96 bilhetes não seus). Dado isso, probabilidade de não ganhar o segundo também é \dfrac{95}{99}. Logo:
P(\text{nenhum})=\frac{96}{100}\cdot\frac{95}{99}=\frac{9120}{9900}=\frac{152}{165}.
Portanto
P\text{(C)}=1-P(\text{nenhum})=1-\frac{152}{165}=\frac{13}{165}.

Passo 7

Com P(A)=\dfrac{1}{825} e P\text{(C)}=\dfrac{13}{165}, calculamos:
P(A\mid C)=\frac{\dfrac{1}{825}}{\dfrac{13}{165}}=\frac{1}{825}\cdot\frac{165}{13}.
Simplificando:
\frac{1}{825}\cdot\frac{165}{13}=\frac{165}{825\cdot 13}.
Note que 825=165\cdot 5, então
\frac{165}{825\cdot 13}=\frac{165}{(165\cdot 5)\cdot 13}=\frac{1}{5\cdot 13}=\frac{1}{65}.
Assim,
P(A\mid C)=\frac{1}{65}.

Passo 8

Breve verificação numérica e interpretação (pra te animar):
  • P(A\mid B)=\dfrac{1}{33}\approx 0{,}0303 — ou seja, mesmo sabendo que ganhou o liquidificador, a chance de também ter ganho a batedeira é baixa (cerca de 3\%).
  • P(A\mid C)=\dfrac{1}{65}\approx 0{,}01538 — sabendo apenas que ganhou algum prêmio, a chance de ter ganho os dois é ainda menor (cerca de 1{,}54\%).
    Faz sentido: condicionar a ter ganho especificamente o segundo prêmio dá mais informação do que apenas ter ganho algum prêmio, por isso P(A\mid B) > P(A\mid C).

Resposta

\dfrac{1}{33}
\dfrac{1}{65}

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