Exercício 10: Em uma rifa com 100 bilhetes, numerados de 1 a 100 , sorteiam-se dois bilhetes ao acaso, sem reposição. O primeiro bilhete sorteado premia o seu comprador com uma batedeira, e o segundo prêmio é um liquidificador. Uma pessoa compra quatro bilhetes.
- Calcule a probabilidade de que essa pessoa tenha ganho ambos os prêmios, dado que ganhou o liquidificador.
- Calcule a probabilidade de que essa pessoa tenha ganho ambos os prêmios, dado que ganhou algum prêmio na rifa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas probabilidades.
Dados do problema:
Perguntas:
- Calcular a probabilidade de que a pessoa tenha ganho ambos os prêmios, dado que ela ganhou o liquidificador.
- Calcular a probabilidade de que a pessoa tenha ganho ambos os prêmios, dado que ela ganhou algum prêmio na rifa.
Passo 2
Definimos eventos e a ferramenta básica que vamos usar.
Definições de eventos:
Fórmula de probabilidade condicional (ferramenta chave):
onde
é a probabilidade de
acontecer sabendo que
ocorreu,
é a probabilidade de ambos ocorrerem, e
é a probabilidade de
.
Vou aplicar essa fórmula para responder as duas perguntas: primeiro com
e
, depois com
e
.
Passo 3
Vamos calcular probabilidades básicas necessárias, começando por
— a probabilidade de a pessoa ganhar ambos os prêmios sem condições.
Pensamento sequencial (ordem importa porque os prêmios são diferentes):
- Probabilidade do primeiro prêmio (batedeira) ser de alguém que comprou um dos
bilhetes é . - Se isso ocorreu, restam
bilhetes e restam bilhetes da pessoa entre esses ; então a probabilidade do segundo prêmio (liquidificador) também ser dela é .
Multiplicando (regra do produto para eventos sequenciais sem reposição):
Calculando:
Portanto,
Passo 4
Agora calculamos
, a probabilidade de a pessoa ganhar o liquidificador (ou seja, o segundo prêmio ser um dos seus
bilhetes), sem condição sobre o primeiro prêmio.
Como cada bilhete tem igualmente chance de ser sorteado em qualquer posição, a probabilidade de o segundo sorteado ser um dos
bilhetes é simplesmente
Uma forma alternativa (sequencial) que dá o mesmo resultado: a posição do sorteio é simétrica; ou calcular diretamente
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula condicional para a pergunta 1:
Note que
é exatamente o evento
(se a pessoa ganhou ambos, certamente ganhou o segundo), logo
. Assim:
Calculando:
Um raciocínio mais direto e intuitivo (sem divisão de probabilidades): se você já sabe que o segundo bilhete é seu (um dos
), então restam
bilhetes para o primeiro sorteio e você ainda possui
bilhetes entre esses
. Logo a probabilidade de também ganhar o primeiro é
. As duas abordagens coincidem.
Passo 6
Agora vamos à pergunta 2:
, probabilidade de ganhar ambos dado que ganhou ao menos um prêmio.
Usaremos
Mas
(se ganhou ambos, entrou no caso “pelo menos um”), então
Já temos
. Falta
, a probabilidade de ganhar pelo menos um dos prêmios.
É mais fácil calcular o complementar: nenhuma vitória (nenhum prêmio). Probabilidade de não ganhar o primeiro prêmio é
(porque há
bilhetes não seus). Dado isso, probabilidade de não ganhar o segundo também é
. Logo:
Portanto
Passo 7
Com
e
, calculamos:
Simplificando:
Note que
, então
Assim,
Passo 8
Breve verificação numérica e interpretação (pra te animar):
-
— ou seja, mesmo sabendo que ganhou o liquidificador, a chance de também ter ganho a batedeira é baixa (cerca de ). -
— sabendo apenas que ganhou algum prêmio, a chance de ter ganho os dois é ainda menor (cerca de ).
Faz sentido: condicionar a ter ganho especificamente o segundo prêmio dá mais informação do que apenas ter ganho algum prêmio, por isso.