Exercício 16. Suponha que a, b>0, com a \neq 1 e b \neq 1. Mostre que
\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a>0, b>0, com a\neq1 e b\neq1, vale
\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}.
O conteúdo usado será a definição de logaritmo e a propriedade de que \log_{c}(d^{x})=x\log_{c}d.

Passo 2

Defina
x = \log_{a}b.
Pela definição de logaritmo, isto significa que
a^{x} = b.

Passo 3

Aplique o logaritmo na base b em ambos os lados de a^{x}=b. Então
\log_{b}\bigl(a^{x}\bigr) = \log_{b}b = 1.
Usando a propriedade de potência,
\log_{b}\bigl(a^{x}\bigr)=x\,\log_{b}a,
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x\,\log_{b}a = 1.

Passo 4

Isolando x temos
x = \frac{1}{\log_{b}a}.
Como x=\log_{a}b, concluímos que
\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}.

Resposta

\displaystyle \log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}.

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