Exercício 17.* Mostre que a função
f(x)=\log \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)
é ímpar e calcule a sua inversa.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\log\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)
e pede para mostrar que f é ímpar (isto é, f(-x)=-f(x)) e depois encontrar a inversa f^{-1}. Vamos usar propriedades de simetria de funções ímpares e as regras de logaritmo e exponenciação para inverter a relação.

Passo 2

Para provar que f é ímpar, calculamos f(-x):
f(-x) =\log\bigl(-x+\sqrt{(-x)^{2}+1}\bigr) =\log\bigl(-x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr).
Observe que
\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\bigl(-x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) =-x^{2} +\bigl(\sqrt{x^{2}+1}\bigr)^{2} =1.
Logo
-x+\sqrt{x^{2}+1} =\frac{1}{\,x+\sqrt{x^{2}+1}\,}
e, aplicando logaritmo,
f(-x) =\log\!\Bigl(\frac1{x+\sqrt{x^{2}+1}}\Bigr) =-\log\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) =-f(x).
Portanto f é ímpar.

Passo 3

Agora achamos a inversa de f. Escrevemos
y=\log\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)
e exponenciamos:
e^{y}=x+\sqrt{x^{2}+1}.
Isolando \sqrt{x^{2}+1}
\sqrt{x^{2}+1}=e^{y}-x.
Elevando ao quadrado,
x^{2}+1 = e^{2y}-2x\,e^{y}+x^{2},
de onde
2x\,e^{y}=e^{2y}-1 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{e^{2y}-1}{2\,e^{y}} =\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.
Isso mostra que
f^{-1}(y)=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.

Resposta

A função f é ímpar e
f^{-1}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.

Exercícios relacionados