Exercício 17.* Mostre que a função
é ímpar e calcule a sua inversa.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
é ímpar (isto é,
) e depois encontrar a inversa
. Vamos usar propriedades de simetria de funções ímpares e as regras de logaritmo e exponenciação para inverter a relação.
Passo 2
Para provar que
é ímpar, calculamos
:
Observe que
Logo
e, aplicando logaritmo,
Portanto
é ímpar.
Passo 3
Agora achamos a inversa de
. Escrevemos
e exponenciamos:
Isolando
dá
Elevando ao quadrado,
de onde
Isso mostra que
Resposta
A função
é ímpar e