Exercício 4.16 O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico e seu diâmetro cresce à razão de
ano e sua altura cresce à razão de 1 m /ano. Determine quantos
por ano a árvore está ganhando em volume quando seu diâmetro é de
e sua altura é de 15 m .
Passo 1
O enunciado descreve um tronco de árvore que tem formato cilíndrico, cujo diâmetro
cresce à razão de
,cm/ano e cuja altura
cresce à razão de
,m/ano. Queremos determinar a taxa de variação do volume
(em c
/ano) no instante em que
,m e
,m. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de um cilindro e derivar em relação ao tempo, tomando cuidado com as unidades.
Passo 2
A fórmula do volume de um cilindro em função do diâmetro
e da altura
é
onde
. Substituindo
em termos de
, obtemos
Passo 3
Derivamos ambos os lados em relação ao tempo
, usando regra do produto e regra da cadeia:
Passo 4
Convertendo todas as grandezas para centímetros:
- Diâmetro no instante considerado: ,m
,cm.
- Altura no instante considerado: ,m
,cm.
- Razão de variação do diâmetro: ,cm/ano.
- Razão de variação da altura: ,m/ano
,cm/ano.
Substituindo em
- Diâmetro no instante considerado:
- Altura no instante considerado:
- Razão de variação do diâmetro:
- Razão de variação da altura:
Substituindo em
temos
Passo 5
Finalmente,
(c
/ano).
Resposta
Quando
,m e
,m, a árvore está ganhando
c
por ano.