Exercício 4.16 O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico e seu diâmetro cresce à razão de 0,25 \mathrm{~cm} / ano e sua altura cresce à razão de 1 m /ano. Determine quantos \mathrm{cm}^{3} por ano a árvore está ganhando em volume quando seu diâmetro é de 0,5 \mathrm{~m} e sua altura é de 15 m .

Passo 1

O enunciado descreve um tronco de árvore que tem formato cilíndrico, cujo diâmetro d cresce à razão de 0,25,cm/ano e cuja altura h cresce à razão de 1,m/ano. Queremos determinar a taxa de variação do volume V (em c m^{3}/ano) no instante em que d=0,5,m e h=15,m. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de um cilindro e derivar em relação ao tempo, tomando cuidado com as unidades.

Passo 2

A fórmula do volume de um cilindro em função do diâmetro d e da altura h é
V = \pi r^2 h
onde r = \tfrac{d}{2}. Substituindo r em termos de d, obtemos
V = \pi\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2 h
V = \frac{\pi}{4}\,d^2\,h

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação ao tempo t, usando regra do produto e regra da cadeia:
\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{4}\,\frac{d}{dt}\bigl(d^2\,h\bigr) = \frac{\pi}{4}\Bigl(2d\,\frac{dd}{dt}\,h + d^2\,\frac{dh}{dt}\Bigr).

Passo 4

Convertendo todas as grandezas para centímetros:
- Diâmetro no instante considerado: d = 0,5,m =50,cm.
- Altura no instante considerado: h =15,m =1500,cm.
- Razão de variação do diâmetro: \tfrac{dd}{dt}=0,25,cm/ano.
- Razão de variação da altura: \tfrac{dh}{dt}=1,m/ano =100,cm/ano.
Substituindo em
\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{4}\Bigl(2\cdot50\cdot0,25\cdot1500 + 50^2\cdot100\Bigr),
temos
\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{4}\Bigl(25\cdot1500 + 2500\cdot100\Bigr) = \frac{\pi}{4}(37500 + 250000) = \frac{\pi}{4}\,287500.

Passo 5

Finalmente,
\frac{dV}{dt} = 71875\,\pi
(c m^{3}/ano).

Resposta

Quando d=0,5,m e h=15,m, a árvore está ganhando
\frac{dV}{dt} = 71875\,\pi
c m^{3} por ano.

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