Exercício 4.22 (Resolvido) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no plano, uma partícula desloca-se sobre um círculo de raio r cm com centro na origem no sentido anti-horário e velocidade angular constante igual a
. Qual é a velocidade de afastamento da partícula do ponto
quando a distância entre a partícula e o ponto P for de
?
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula descreve um círculo de raio
centrado na origem, com velocidade angular constante
(rad/s), e pede a taxa de variação da distância entre essa partícula e o ponto
quando essa distância vale
. O conteúdo é “equação de distância em coordenadas polares” e “taxa de variação (derivadas implícitas)”.
Passo 2
Vamos chamar
o ângulo da partícula e usar as coordenadas cartesianas
A distância
de
a
é
Passo 3
Simplificando o radicando, obtemos
logo
Passo 4
Diferenciando em relação a
e usando
,
Passo 5
Precisamos do instante em que
. Da expressão
vem
Como o movimento é anti-horário e o primeiro instante de atingir essa distância ocorre em
no primeiro quadrante, usamos
Passo 6
Substituindo
e
na fórmula de
,