Exercício 4.22 (Resolvido) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no plano, uma partícula desloca-se sobre um círculo de raio r cm com centro na origem no sentido anti-horário e velocidade angular constante igual a \omega \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Qual é a velocidade de afastamento da partícula do ponto P(2 r, 0) quando a distância entre a partícula e o ponto P for de \frac{3 \mathrm{r}}{2} \mathrm{~cm} ?

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula descreve um círculo de raio r centrado na origem, com velocidade angular constante \omega (rad/s), e pede a taxa de variação da distância entre essa partícula e o ponto P(2r,0) quando essa distância vale \tfrac{3r}{2}. O conteúdo é “equação de distância em coordenadas polares” e “taxa de variação (derivadas implícitas)”.

Passo 2

Vamos chamar \theta=\omega t o ângulo da partícula e usar as coordenadas cartesianas
Q(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta\bigr).
A distância D de Q a P(2r,0) é
D=\sqrt{\bigl(r\cos\theta-2r\bigr)^{2}+\bigl(r\sin\theta\bigr)^{2}}.

Passo 3

Simplificando o radicando, obtemos
D^{2}=(r\cos\theta-2r)^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta =r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta-4\cos\theta+4+\sin^{2}\theta\bigr) =r^{2}(5-4\cos\theta),
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D = r\sqrt{5-4\cos\theta}.

Passo 4

Diferenciando em relação a t e usando \dot\theta=\omega,
\frac{dD}{dt} =\frac{r}{2\sqrt{5-4\cos\theta}}\cdot\bigl(4\omega\sin\theta\bigr) =\frac{2\,r\,\omega\,\sin\theta}{\sqrt{5-4\cos\theta}}.

Passo 5

Precisamos do instante em que D=\tfrac{3r}{2}. Da expressão D=r\sqrt{5-4\cos\theta} vem
\sqrt{5-4\cos\theta}=\tfrac{3}{2} \;\Longrightarrow\; 5-4\cos\theta=\tfrac{9}{4} \;\Longrightarrow\; \cos\theta=\tfrac{11}{16}.
Como o movimento é anti-horário e o primeiro instante de atingir essa distância ocorre em \theta no primeiro quadrante, usamos
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta} =\sqrt{1-\bigl(\tfrac{11}{16}\bigr)^{2}} =\frac{3\sqrt{15}}{16}.

Passo 6

Substituindo \sin\theta=\tfrac{3\sqrt{15}}{16} e \sqrt{5-4\cos\theta}=\tfrac{3}{2} na fórmula de \tfrac{dD}{dt},
\frac{dD}{dt} =\frac{2\,r\,\omega\,\bigl(\tfrac{3\sqrt{15}}{16}\bigr)}{\tfrac{3}{2}} =\frac{r\,\omega\,\sqrt{15}}{4}.

Resposta

\frac{dD}{dt}=\frac{r\,\omega\,\sqrt{15}}{4}\text{ cm/s}.

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