Exercício 17. (Apostol seção 11.28 exercício 15) Um paralelogramo
no plano
tem vértices
,
e
.
a) Ache uma transformação linear
que mapeia
num retângulo
no plano
com vértices opostos
e
. O vértice
deve ser mapeado num ponto do eixo
b) Calcule a integral dupla
transformando numa integral equivalente sobre o retângulo
do item
.
a) Ache uma transformação linear
b) Calcule a integral dupla
Passo 1
O enunciado dá um paralelogramo
no plano
com vértices
,
,
e
. Ele pede:
a) Encontrar uma transformação linear
que mande
num retângulo
no plano
cujos vértices opostos são
e
, e tal que
caia no eixo
.
b) Usar essa transformação para calcular
como uma integral sobre o retângulo
.
Para isso vamos: (i) ver que
é gerado pelos vetores
e
; (ii) mandar cada vetor gerador aos vetores que definem as arestas de
; (iii) achar o inverso da transformação e o jacobiano; (iv) montar e calcular a integral em
.
Passo 2
Como
fazemos a linear
de modo que
Escrevendo
temos o sistema
Da segunda equação em , e então
dá
,
. Na parte de
,
e
dá
,
. Logo
Passo 3
Invertendo para expressar
em função de
, somamos
e então
O jacobiano da transformação direta
é
logo
Passo 4
Agora fazemos a integral sobre
Temos
Expandindo
então
Calculemos primeiro em
:
Agora em
:
Multiplicando por
dá