Exercício 17. (Apostol seção 11.28 exercício 15) Um paralelogramo S no plano x y tem vértices (0,0),(2,10), (3,17) e (1,7).
a) Ache uma transformação linear u=a x+b y, v=c x+d y que mapeia S num retângulo R no plano u v com vértices opostos (0,0) e (4,2). O vértice (2,10) deve ser mapeado num ponto do eixo u
b) Calcule a integral dupla integral duplaS x y d x d y transformando numa integral equivalente sobre o retângulo R do item a.

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo S no plano xy com vértices (0,0), (2,10), (3,17) e (1,7). Ele pede:
a) Encontrar uma transformação linear
u = a x + b y, v=c x + d y
que mande S num retângulo R no plano uv cujos vértices opostos são (0,0) e (4,2), e tal que (2,10) caia no eixo u.
b) Usar essa transformação para calcular
integral duplaS x,y ,dx,dy
como uma integral sobre o retângulo R.
Para isso vamos: (i) ver que S é gerado pelos vetores (2,10) e (1,7); (ii) mandar cada vetor gerador aos vetores que definem as arestas de R; (iii) achar o inverso da transformação e o jacobiano; (iv) montar e calcular a integral em R.

Passo 2

Como
fazemos a linear de modo que
Escrevendo
temos o sistema
Da segunda equação em , e então , . Na parte de , e , . Logo

Passo 3

Invertendo para expressar (x,y) em função de (u,v), somamos
u+v = (7x-y)+(-5x+y)=2x Longrightarrow x=u+v2,
e então
y=7x-u =;7u+v2-u =5u+7v2
O jacobiano da transformação direta (x,y)mapsto(u,v) é
J = det7 & -1-5&1 =7cdot1-(-1)(-5)=2,
logo
dx,dy = 1|J|,du,dv = 12,du,dv

Passo 4

Agora fazemos a integral sobre
R=(u,v)mid 0<= u<=4,;0<= v<=2
Temos
integral duplaS x,y,dx,dy =integral duplaR l(u+v2r)l(5u+7v2r)12,du,dv =18integral duplaR(u+v)(5u+7v),du,dv
Expandindo
(u+v)(5u+7v)=5u^2+12u v+7v^2,
então
18integral0^4!integral0^2(5u^2+12u v+7v^2),dv,du
Calculemos primeiro em v:
integral0^2(5u^2+12u v+7v^2),dv =10u^2+24u+563
Agora em u:
integral0^4l(10u^2+24u+tfrac563r),du =10cdot643+192+56cdot43 =480
Multiplicando por 1/8
integral duplaS x,y,dx,dy = 18cdot480 = 60

Resposta

60

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