Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{0}^{1} \sqrt{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \sqrt{x^{3}}\,dx.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • A função integranda é \sqrt{x^{3}}, definida para x\ge 0 (o que inclui todo o intervalo [0,1]).
  • A tarefa é calcular o valor numérico exato da integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo (não é pedido método numérico).

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão da integranda usando regras de potências. Lembre que, para x\ge 0,
\sqrt{x^{3}}=(x^{3})^{1/2}=x^{3/2}.
Também é útil observar que, quando x\ge0,
x^{3/2}=x^{1}\cdot x^{1/2}=x\sqrt{x},
mas aqui trabalharemos com a forma x^{3/2}, que é mais direta para integrar.
Explicação didática rápida sobre expoentes fracionários:
  • Para qualquer real a>0 e racional \alpha, define-se a^{\alpha} de forma consistente com as leis de potências. Em particular, a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^{m}.
  • Aqui 3/2 significa elevar ao cubo e depois tirar a raiz quadrada, ou equivalente.

Passo 3

Apresento as ferramentas que vamos usar:
  1. Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada):
    Se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva (antiderivada) de f em [a,b], então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Isto significa que para calcular uma integral definida basta encontrar uma função F tal que F'(x)=f(x) e avaliar a diferença das bordas.
  1. Regra da potência para antiderivadas:
    Para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui n pode ser fracionário; a regra continua válida desde que a função seja definida na região considerada.

Passo 4

Aplicamos a regra da potência à função f(x)=x^{3/2}. Aqui n=\tfrac{3}{2}. Calculamos n+1:
n+1=\frac{3}{2}+1=\frac{3}{2}+\frac{2}{2}=\frac{5}{2}.
Portanto uma primitiva F(x) é
F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}=\frac{x^{5/2}}{5/2}.
Simplificando a fração no denominador (dividir por 5/2 equivale a multiplicar por 2/5):
F(x)=\frac{2}{5}x^{5/2}.

Passo 5

Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx = F(1)-F(0).
Calculamos os valores:
F(1)=\frac{2}{5}\cdot 1^{5/2}=\frac{2}{5}\cdot 1=\frac{2}{5},
F(0)=\frac{2}{5}\cdot 0^{5/2}=0.
Logo
\int_{0}^{1} \sqrt{x^{3}}\,dx=\frac{2}{5}-0=\frac{2}{5}.

Passo 6

Checagem rápida e observações:
  • A função x^{3/2} é contínua em [0,1], então a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo é válida.
  • O resultado \tfrac{2}{5} é um número racional simples; sem necessidade de calculadora.
  • Se preferir visualizar geometricamente: a área sob a curva y=\sqrt{x^{3}} entre 0 e 1 é \tfrac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}

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