Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações importantes que o enunciado dá:
- O intervalo de integração é
. - A função integranda é
, definida para (o que inclui todo o intervalo ). - A tarefa é calcular o valor numérico exato da integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo (não é pedido método numérico).
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão da integranda usando regras de potências. Lembre que, para
,
Também é útil observar que, quando
,
mas aqui trabalharemos com a forma
, que é mais direta para integrar.
Explicação didática rápida sobre expoentes fracionários:
- Para qualquer real
e racional , define-se de forma consistente com as leis de potências. Em particular, . - Aqui
significa elevar ao cubo e depois tirar a raiz quadrada, ou equivalente.
Passo 3
Apresento as ferramentas que vamos usar:
- Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada):
Seé contínua em e é uma primitiva (antiderivada) de em , então
Isto significa que para calcular uma integral definida basta encontrar uma função
tal que
e avaliar a diferença das bordas.
- Regra da potência para antiderivadas:
Para,
onde
é a constante de integração. Aqui
pode ser fracionário; a regra continua válida desde que a função seja definida na região considerada.
Passo 4
Aplicamos a regra da potência à função
. Aqui
. Calculamos
:
Portanto uma primitiva
é
Simplificando a fração no denominador (dividir por
equivale a multiplicar por
):
Passo 5
Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida de
a
:
Calculamos os valores:
Logo
Passo 6
Checagem rápida e observações:
- A função
é contínua em , então a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo é válida. - O resultado
é um número racional simples; sem necessidade de calculadora. - Se preferir visualizar geometricamente: a área sob a curva
entre e é .