Exercício 18. Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para achar a derivada da função definida pela integral
Dados importantes extraídos do enunciado:
- A integral tem limite inferior fixo igual a
. - O limite superior é uma função de
, . - O integrando é a função de
dada por .
A pergunta é: qual é?
Passo 2
Lembrete (Teorema Fundamental do Cálculo, forma usada aqui). Se
então
Explicando devagar: a função
acumula a área sob
desde
até
. Quando se varia
, a taxa de variação de
é exatamente o valor de
no ponto onde se está acumulando, isto é
. Nas fórmulas acima,
é constante,
é a variável de integração e
é a variável de diferenciação.
Passo 3
Quando o limite superior não é
mas uma função
, usa-se composição + regra da cadeia. Defina
então
por o Teorema Fundamental. Se agora considerar
aplica-se a regra da cadeia:
Ou seja, para limite superior
vale a fórmula generalizada
Aqui
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso problema: identifique
Calcule
:
Passo 5
Avalie
no ponto
:
Agora multiplique por
:
Efetuando a multiplicação:
Passo 6
(Verificação alternativa — opcional, para fixar a ideia) Pode-se também calcular a integral primitiva explicitamente e depois derivar: uma primitiva de
em
é
. Então
Derivando
usando regras usuais:
o que coincide com o resultado anterior.