Exercício 18. Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar as derivadas das seguintes funções:
\int_{1}^{e^{x}}(t+\cos (t)) d t

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada da função definida pela integral
F(x)=\int_{1}^{e^{x}}(t+\cos(t))\,dt.
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • A integral tem limite inferior fixo igual a 1.
  • O limite superior é uma função de x, u(x)=e^{x}.
  • O integrando é a função de t dada por f(t)=t+\cos(t).
    A pergunta é: qual é F'(x)?

Passo 2

Lembrete (Teorema Fundamental do Cálculo, forma usada aqui). Se
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então
G'(x)=f(x).
Explicando devagar: a função G acumula a área sob f desde t=a até t=x. Quando se varia x, a taxa de variação de G é exatamente o valor de f no ponto onde se está acumulando, isto é f(x). Nas fórmulas acima, a é constante, t é a variável de integração e x é a variável de diferenciação.

Passo 3

Quando o limite superior não é x mas uma função u(x), usa-se composição + regra da cadeia. Defina
H(s)=\int_{a}^{s} f(t)\,dt,
então H'(s)=f(s) por o Teorema Fundamental. Se agora considerar
G(x)=H(u(x))=\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt,
aplica-se a regra da cadeia:
G'(x)=H'(u(x))\cdot u'(x)=f(u(x))\cdot u'(x).
Ou seja, para limite superior u(x) vale a fórmula generalizada
\frac{d}{dx}\left(\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt\right)=f(u(x))\,u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso problema: identifique
f(t)=t+\cos(t), \qquad u(x)=e^{x}.
Calcule u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 5

Avalie f no ponto u(x)=e^{x}:
f(u(x))=f(e^{x})=e^{x}+\cos\bigl(e^{x}\bigr).
Agora multiplique por u'(x):
F'(x)=f(e^{x})\cdot e^{x} = \bigl(e^{x}+\cos(e^{x})\bigr)\,e^{x}.
Efetuando a multiplicação:
F'(x)=e^{x}\cdot e^{x} + e^{x}\cos\bigl(e^{x}\bigr)=e^{2x}+e^{x}\cos\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 6

(Verificação alternativa — opcional, para fixar a ideia) Pode-se também calcular a integral primitiva explicitamente e depois derivar: uma primitiva de t+\cos t em t é \dfrac{t^{2}}{2}+\sin t. Então
F(x)=\left[\frac{t^{2}}{2}+\sin t\right]_{t=1}^{t=e^{x}}=\frac{e^{2x}}{2}+\sin(e^{x})-\left(\frac{1}{2}+\sin 1\right).
Derivando F(x) usando regras usuais:
F'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{2x}}{2}\right)+\frac{d}{dx}\sin(e^{x})=e^{2x}+ \cos(e^{x})\cdot e^{x},
o que coincide com o resultado anterior.

Resposta

\;e^{2x}+e^{x}\cos\bigl(e^{x}\bigr)

Exercícios relacionados