Exercício 17. Encontre o erro nas demonstrações dos seguintes “teoremas”:
Todo número natural admite uma raiz quadrada natural.
Vamos provar pela contrapositiva de " n \in \mathbb{N} \Rightarrow \sqrt{n} \in \mathbb{N} ". Seja a=\sqrt{n}, e suponhamos que a \in \mathbb{N}. Temos que a^{2}=n. Como o quadrado de um natural é natural, n é natural.

Passo 1

O “teorema” a ser demonstrado é
\forall n\in\mathbb{N},\;\sqrt{n}\in\mathbb{N}.
O autor alega prová-lo por contraposição, ou seja, partindo da implicação
P\colon n\in\mathbb{N} \;\Longrightarrow\; Q\colon \sqrt{n}\in\mathbb{N},
e tentando mostrar a equivalente
\lnot Q\;\Longrightarrow\;\lnot P.

Passo 2

Para usar corretamente contraposição, deveríamos assumir
\sqrt{n}\notin\mathbb{N}
e daí deduzir
n\notin\mathbb{N}.
Isto é, provar
\bigl(\sqrt{n}\notin\mathbb{N}\bigr) \;\Longrightarrow\; \bigl(n\notin\mathbb{N}\bigr).

Passo 3

O autor, porém, fez o seguinte: definiu a=\sqrt{n}, supôs
a\in\mathbb{N}
(e, portanto, \sqrt{n}\in\mathbb{N}) e concluiu
a^2=n\in\mathbb{N}.
Em símbolos, provou
Q\;\Longrightarrow\;P,
isto é, mostrou o recíproco da afirmação original, não a sua contrapositiva.

Passo 4

O recíproco Q\Rightarrow P não é logicamente equivalente a P\Rightarrow Q.
Provar que “se \sqrt{n} é natural então n é natural” é quase trivial e não garante que “se n é natural então \sqrt{n} seja natural”.
Por exemplo, n=2 pertence a \mathbb{N} mas \sqrt{2}\notin\mathbb{N}, contrariando o “teorema”.

Resposta

O erro está em confundir a contrapositiva \lnot Q\Rightarrow\lnot P com o recíproco Q\Rightarrow P.

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