Exercício 17. Encontre o erro nas demonstrações dos seguintes “teoremas”:
Todo número natural admite uma raiz quadrada natural.
Vamos provar pela contrapositiva de "
". Seja
, e suponhamos que
. Temos que
. Como o quadrado de um natural é natural, n é natural.
Todo número natural admite uma raiz quadrada natural.
Passo 1
O “teorema” a ser demonstrado é
O autor alega prová-lo por contraposição, ou seja, partindo da implicação
e tentando mostrar a equivalente
Passo 2
Para usar corretamente contraposição, deveríamos assumir
e daí deduzir
.
Isto é, provar
e daí deduzir
Isto é, provar
Passo 3
O autor, porém, fez o seguinte: definiu
, supôs
(e, portanto, ) e concluiu
.
Em símbolos, provou
(e, portanto,
Em símbolos, provou
isto é, mostrou o recíproco da afirmação original, não a sua contrapositiva.
Passo 4
O recíproco
não é logicamente equivalente a
.
Provar que “se é natural então
é natural” é quase trivial e não garante que “se
é natural então
seja natural”.
Por exemplo, pertence a
mas
, contrariando o “teorema”.
Provar que “se
Por exemplo,
Resposta
O erro está em confundir a contrapositiva
com o recíproco
.