Exercício 16. Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
Qualquer que seja m, m^{2} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para provar que qualquer inteiro m satisfaz
m^2 \ge 0.
O conteúdo envolve propriedades de sinais e de produto na teoria dos inteiros. Vamos usar um argumento por casos: um em que m\ge0 e outro em que m<0, usando a propriedade de que o produto de dois inteiros não-negativos é não-negativo.

Passo 2

Caso m \ge 0:
Nesse caso m é inteiro não-negativo. Pelas propriedades básicas dos inteiros, o produto de dois números não-negativos também é não-negativo. Logo,
m^2 = m \cdot m \ge 0.

Passo 3

Caso m < 0:
Aqui -m é um inteiro positivo, pois -m>0. Aplicando o caso anterior a -m, temos
(-m)^2 \ge 0.
Mas (-m)^2 = m^2. Portanto
m^2 \ge 0.

Passo 4

Como um inteiro m satisfaz ou m\ge0 ou m<0, cobrimos todas as possibilidades. Logo, concluímos que para todo m\in\mathbb{Z},
m^2 \ge 0.

Resposta

Para qualquer inteiro m, m^2 \ge 0.

Exercícios relacionados